Supongamos que tenemos dos bolas, y , de radio con igual masa. Pelota está inicialmente en (el centro está en) dos en el -eje, es decir , y tiene velocidad . Pelota está inicialmente en (el centro está en) algún punto en el -eje a la izquierda de la bola (sin tocar ofc) y se mueve a la derecha con velocidad . Algún tiempo después, las bolas chocan, y después de la colisión, la bola ahora está estacionario y bola se mueve a la derecha con velocidad .
Si se usa un modelo de impulso, entonces la colisión entre y se trata como si ocurriera instantáneamente y después de la colisión, el centro de la bola está en el origen.
Si la colisión se modela usando fuerzas, ¿el centro de la bola terminar estando exactamente en el origen? O podría jugar terminar con el centro en para algún pequeño distinto de cero , o incluso en algún momento no en el -eje con pequeño pero no cero? Si el centro de la pelota no termina exactamente en el origen, ¿cuáles podrían ser algunas de las principales propiedades que determinan dónde termina? ¿Qué pasa si tal colisión ocurre en la realidad?
Desde mi comprensión limitada, durante la colisión hay una deformación temporal y fuerzas similares a las de un resorte en acción. Por un pequeño intervalo apropiado de tiempo (centro de masa) desacelera mientras la pelota (centro de masa) acelera, pero incluso si termina estacionario, no me queda claro si su centro terminará donde estaba cuando comenzó la colisión.
Cualquier ayuda o información es muy apreciada. Gracias por su tiempo y que tenga un gran día.
Un problema que se pasa por alto en la mayoría del material introductorio (cómo se define una colisión y, en particular, cuándo son los estados inicial y final) juega un rol aquí.
Podríamos definir una colisión considerando la(s) interacción(es) entre los cuerpos afectados. Buscamos una situación en la que las interacciones (es decir, las fuerzas) pasen de despreciables a no despreciables y de nuevo a despreciables.
La colisión es el tiempo completo de interacciones no despreciables.
Y eso nos dice que los estados inicial y final se toman cuando la interacción es despreciable.
Ahora bien, en el caso de las bolas de billar que chocan, esto es fácil: mientras están en contacto, la interacción no es despreciable.
Si consideramos, en cambio, la dispersión gravitacional, el problema es difícil. La fuerza tiene un rango "infinito", por lo que debemos definir la insignificancia por referencia a otras fuerzas que actúan sobre los cuerpos: cuando la fuerza entre ellos es menor que las diferencias de fuerzas externas sobre los dos cuerpos, podemos tratarla como insignificante. ¡Puaj! 1
Entonces, volviendo a su pregunta, la colisión en sí ocupa un período de tiempo 2 corto, pero distinto de cero (mientras se produce la deformación que le preocupa), y no esperaría encontrar la condición final que se aplica en cualquier punto durante la colisión
Pero se puede esperar que el estado final se aplique de inmediato cuando las bolas dejen de estar en contacto. Entonces, esperaría que la posición inicial de la bola "objetivo" y la posición final de la bola "incidente" estuvieran un poco más juntas que ( el radio de las bolas), pero podría manipular eso para que la bola incidente aún termine en el origen, o para que la bola objetivo realmente comience en o divide la diferencia y haz que ambos se desplacen ligeramente.
En el caso de las bolas de billar reales, el tamaño de la deformación no es mayor que el grano del fieltro, por lo que probablemente sea seguro ignorarlo en el mundo real.
1 En realidad, en muchos casos esta definición un tanto enrevesada tiene una aplicación muy simple, pero el caso general es desagradable.
2 Aquí estamos analizando el proceso con más detalle que la idealización de la interacción "instantánea" que comenta en su pregunta. Felicitaciones, ha pasado a un nivel más profundo de comprensión.
Es más fácil visualizar esto desde un marco de referencia inercial que se mueve hacia la derecha con la mitad de la velocidad inicial de la bola izquierda. Desde este marco de referencia, ambas bolas se moverán inicialmente una hacia la otra con la misma velocidad.
Tras el contacto, cada bola experimentará una deformación, y la extensión espacial de la deformación en cada bola no estará limitada a la región muy próxima al plano de contacto. Una zona de compresión comenzará a desarrollarse en el plano de contacto y viajará, y la onda de compresión viajará a la velocidad del sonido en el metal a través de cada bola hasta que llegue al otro extremo de cada bola. En este punto, ambas bolas se habrán detenido por completo, pero estarán bajo compresión. Luego, una onda de dilatación resultará de la reflexión en el otro extremo; la onda de dilatación retrocederá a la velocidad del sonido hasta alcanzar el plano de contacto; en este punto, las bolas se separarán.
Entonces, durante la parte inicial de la colisión, el extremo posterior de cada bola sigue viajando a la velocidad inicial, mientras que el extremo de origen de cada bola estará bajo compresión y se habrá detenido. Más tarde, a medida que se libera la compresión, el extremo posterior de cada bola se desplazará en la dirección opuesta mientras que el extremo frontal permanece estacionario. A medida que se libera la compresión, más de cada bola se mueve en la dirección opuesta hasta que las bolas se separan.
Steven