¿Derivar "(pq) v (pr) de "p.(qvr)"?

Primero, tenemos que desglosar la premisa p ∧ (q ∨ r) usando la eliminación de conjunciones para obtener los dos conjuntos: p y (q ∨ r) .

Entonces, tenemos que usar la prueba por casos (es decir, eliminación de disyunción ) para derivar p ∧ q por introducción de conjunción seguido de (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) por introducción de disyunción , en el primer caso, y p ∧ r por conjunción introducción seguida de (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) por disyunción introducción , en el segundo caso.

Habiendo derivado (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) de ambas disyunciones de (q ∨ r) , podemos concluir que se sigue de la premisa, es decir, que:

(p ∧ q) ∨ (p ∧ r) es una consecuencia lógica de p ∧ (q ∨ r) .

Aquí hay una prueba hecha en Fitch:

El verificador y editor de prueba de deducción natural estilo Fitch que estoy usando para esta respuesta está asociado con el libro forall x: Calgary Remix .

Aquí está la pregunta:

primer intento:

1 ......1. p.(q V r)

1 ......2. q V r ... .....................(1) CE

1 ......3. p ...............................(1) CE

1 ......4. ?

Necesito dos "p" para la conclusión, ¿cómo puedo introducir otra "p" y mantenerla en la conclusión?

La solución a continuación es similar a lo que proporcionó Bram28 en las líneas 2-11:

Para pasar la línea 3, necesitamos eliminar la disyunción, el símbolo ∨. Esta es una declaración "o". Q es verdadera o R es verdadera. Entonces, para eliminar el "o" necesitamos considerar dos casos. Dibujé recuadros azules delgados alrededor de los dos casos, uno para Q y otro para R.

Con respecto a la pregunta sobre la necesidad de dos "p" para la conclusión, se agrega la "p" adicional en las líneas 6 para el caso Q y en la línea 9 para el caso R.

Observe cómo se hizo esto en el caso Q.

En la línea 4 comencé una sub-demostración asumiendo Q. No necesito justificación para esa suposición.

En la línea 5 usé el hecho de que en la línea 2 ya tengo P y en la línea 4 tengo Q como suposición. Como tengo ambos, puedo introducir una conjunción, es decir, una declaración "y". Ahora tengo P ∧ Q, parte de la conclusión que quiero.

Después de eso, puedo introducir una disyunción, es decir, una declaración "o" a la P ∧ Q. ¿Qué agregaré? Puedo agregar lo que quiera. Ya sé que esta afirmación es verdadera porque uno de los casos, P ∧ Q, es verdadero. Así que introduzco el ∨ precisamente con lo que necesito para obtener el resultado que quiero: P ∧ R.

Me he ocupado de los dos casos construyendo una sub-demostración para cada uno y en cada caso llegué a la conclusión deseada. La prueba estará completa una vez que afirme eso. En la línea 10 expongo la conclusión de ambas sub-pruebas. La justificación de esto es una eliminación de la disyunción con la que comencé en la línea 3 usando sub-pruebas en las líneas 4-6 y 7-9.

El comprobador de pruebas confirma la solución.

También podemos ir en la otra dirección. Bram28 hace esto en las líneas 12-23 de esa prueba. La última línea de esa prueba introduce un bicondicional al hacer referencia como justificación para la introducción de las dos sub-pruebas en las líneas 2-11 y 12-23.