Aplicación de la ley de Ampère en bajo RemRemRe_m MHD

Question

Aplicación de la ley de Ampère en bajo RemRemRe_m MHD

bernardo

La ley de Ampère establece que

\begin{matrix} (1) & \nabla \times B = m_{0} j \end{matrix}

$\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J} \tag{1}$

Simultáneamente, por la ley de Ohm, sabemos que

\begin{matrix} (2) & j = σ (mi + tu \times B) \end{matrix}

$\mathbf{J}=\sigma\left(\mathbf{E}+\mathbf{u}\times\mathbf{B}\right)\tag{2}$

Al igualar ambas corrientes $\mathbf{J}$ , y aplicando la ley de Faraday, y sabiendo que el campo magnético $\mathbf{B}$ es solenoidal, se llega a la ecuación de transporte del campo magnético

\begin{matrix} (3) & \frac{\partial B}{\partial t} = \nabla \times (tu \times B) + \frac{1}{σ m_{0}} \nabla^{2} B \end{matrix}

$\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}=\nabla\times(\mathbf{u}\times\mathbf{B)}+\frac{1}{\sigma\mu_0}\nabla^2\mathbf{B}\tag{3}$

En el límite de números de Reynolds magnéticos bajos $Re_m=\mu_0\sigma u L \ll 1$ , el campo magnético impuesto externamente no cambia y la ecuación $(3)$ no se resuelve explícitamente, porque el término difusional se vuelve despreciable. En esta llamada magnetohidrodinámica acoplada unidireccional (MHD) (válida para la mayoría de los metales líquidos), el campo eléctrico $\mathbf{E}$ tiene un potencial $\Psi$ , que se calcula a partir de la divergencia libre ( $\nabla\cdot\mathbf{J}=0$ ) condición, usando la ecuación $(2)$ , con una fuerza de Lorentz $\mathbf{J}\times\mathbf{B}$ .

Mi pregunta es cómo se debe considerar la ley de Ampère en el contexto de unidireccional acoplado o bajo $Re_m$ MHD? Específicamente considerando los siguientes dos ejemplos

Ejemplo 1 Suponga una situación con un límite aislante (con $\mathbf{n}=\mathbf{\hat{y}}$ ). Esto significa que $J_y=0$ . Además, el campo magnético impuesto es constante en el tiempo, pero varía en el espacio. De $(1)$

j_{y} = \frac{d B_{X}}{d z} - \frac{d B_{z}}{d X},

$J_y = \frac{dB_x}{dz}-\frac{dB_z}{dx},$

que, para un campo magnético constante arbitrario, no uniforme, sería distinto de cero.

Ejemplo 2 Suponga que el campo magnético impuesto externamente $\mathbf{B}(x,y,z,t)=\mathbf{B}_0$ . De acuerdo a $(1)$ , $\mathbf{J}=\mathbf{0}$ , y por lo tanto no habría fuerza de Lorentz?

¿Qué está sucediendo exactamente en la interfaz? ¿Estoy aplicando la ley de Ampère correctamente? ¿Qué estoy pasando por alto?

Gotapregunta

"el campo magnético impuesto externamente no cambia", ¿eso significa que solo está interesado en el caso de estado estacionario (ignore la dependencia del tiempo)?

bernardo

@Gotaquestion El estado estacionario probablemente sería suficiente para que entienda el problema (especialmente teniendo en cuenta el campo magnético). Agregar la dependencia del tiempo del campo magnético lo haría más difícil, supongo.

Gotapregunta

Estoy de acuerdo. Una pregunta más, por favor, en su primer ejemplo está discutiendo una condición límite, en su segundo ejemplo está asumiendo un campo magnético uniforme constante en todas partes (no una condición límite) ¿Estoy en lo correcto?

bernardo

@Gotaquestion Sí, eso es correcto. Pero creo que tienen la misma respuesta.

Gotapregunta

No estoy completamente seguro de haber entendido bien la pregunta; Asumiré que se trata de dónde entra en juego la ley de amperios en la ecuación 3. Por favor, eche un vistazo a mi respuesta.

bernardo

@Gotaquestion Entiendo cómo se usa en su derivación, pero vea también mi comentario sobre su respuesta.

Respuestas (1)

Aplicación de la ley de Ampère en bajo RemRemRe_m MHD

"el campo magnético impuesto externamente no cambia", ¿eso significa que solo está interesado en el caso de estado estacionario (ignore la dependencia del tiempo)?
@Gotaquestion El estado estacionario probablemente sería suficiente para que entienda el problema (especialmente teniendo en cuenta el campo magnético). Agregar la dependencia del tiempo del campo magnético lo haría más difícil, supongo.
Estoy de acuerdo. Una pregunta más, por favor, en su primer ejemplo está discutiendo una condición límite, en su segundo ejemplo está asumiendo un campo magnético uniforme constante en todas partes (no una condición límite) ¿Estoy en lo correcto?
@Gotaquestion Sí, eso es correcto. Pero creo que tienen la misma respuesta.
No estoy completamente seguro de haber entendido bien la pregunta; Asumiré que se trata de dónde entra en juego la ley de amperios en la ecuación 3. Por favor, eche un vistazo a mi respuesta.
@Gotaquestion Entiendo cómo se usa en su derivación, pero vea también mi comentario sobre su respuesta.

Gotapregunta · Answer 1

Comencemos con algunos problemas considerando la ley de Amperè. La ley de Amperè describe el campo magnético generado por la corriente. La corriente se puede localizar en un punto determinado del espacio, pero su campo magnético se extiende por todas partes. Aplicar la ley de Amperè a un cierto punto donde la corriente es cero no genera un campo magnético. Sin embargo, no significa necesariamente que el campo magnético sea cero en ese punto: podría haber un campo magnético en ese punto generado por una corriente a cierta distancia.

En general (excluyendo los imanes permanentes, que provienen del momento dipolar magnético), todos los campos magnéticos son generados por corrientes. Si es importante conocer la corriente que generó un campo magnético o es suficiente conocer la distribución del campo magnético, depende del problema que se esté investigando.

En esta cuestión, hay dos campos magnéticos: Primero, el impuesto externamente. No nos importa la corriente que lo generó, todo lo que nos importa es el valor de los campos que suponemos que conocemos. En segundo lugar, el campo magnético autogenerado en el medio considerado (debemos conocer la corriente que genera este campo para conocer la distribución del campo mediante la ley de Ampère).

en bajo $Re_m$ MHD, este campo autogenerado inducido, que sigue a las corrientes dentro del dominio, es bajo en comparación con el campo externo.

Plasma Para plasma, la historia es diferente. Piénselo de esta manera, si de repente aplica un campo magnético en el plasma descrito por MHD, ese cambio repentino (derivada del tiempo) generará una fuerza electromotriz de acuerdo con la ley de Farady. Dado que el medio descrito por MHD está conduciendo, la fuerza electromotriz generará corriente la cual generará un campo magnético de acuerdo a la ley de Amperios, el cual será impuesto al campo magnético aplicado externamente. La dirección del campo magnético autogenerado debilita el campo magnético externo, de modo que el campo magnético TOTAL parece estar difundiéndose en el medio. La difusión continúa hasta que el campo magnético dentro del medio es cero. Tener campos magnéticos totales cero significa que toda la energía del campo externo se ha disipado al generar corriente interna.

De la imagen física que expliqué, la ley de Ampere se usa para describir el campo magnético interno que resulta de las corrientes internas. Si rehaces la derivación de la ecuación 3, verás que el término de difusión en la ecuación 3 proviene de la ley de Ampere, que es consistente con la física que describí anteriormente.

Volviendo a la ecuación 3, sabemos que el número de Reylonds magnético es proporcional a la conductividad del medio, lo que significa que tener una conductividad cero (medio aislante) hace que el número de Reynolds sea cero. Sin embargo, eso rompe todo el sistema de ecuaciones y la aplicabilidad de MHD . En otras palabras, si un medio es aislante, MHD no puede describirlo. Tiene que haber una conductividad mínima que asegure que se mantenga la suposición de MHD.

Con respecto a su primer ejemplo, tomaré esta imagen del libro de Chen y le agregaré el eje y: ingrese la descripción de la imagen aquí

Asumir una interfaz aislante contradice la validez de la suposición de MHD, por lo que la respuesta simple a su ejemplo es que MHD no es válido para tal situación. Si asumimos que el medio es conductor, todavía habrá un componente Jy cero, pero los otros dos componentes no lo son. Entonces, la ley de Ampere aún daría lugar al campo magnético.

Para su segundo ejemplo, no es físico. No puede tener un campo magnético uniforme dentro de MHD. A partir de la solución de la ecuación de difusión, verá que uno podría COMENZAR (en el tiempo = 0) con un campo magnético uniforme, pero eventualmente se establecerá en cero. No habrá fuerza de Lorentz.

Le aconsejo que eche un vistazo al capítulo 6 del libro de Chen y al capítulo 5 del libro de Piels para obtener más información.

Gracias por su respuesta, pero todavía no es completamente lo que estoy buscando. Estoy pidiendo específicamente el bajo $Re_m$ límite, donde se impone el campo magnético, y no cambia. Entonces, esto estaría en el rango de metal líquido en lugar de plasma. Lo siento si esto no fue claro.
Con respecto al segundo ejemplo: esto se hace a menudo en MHD de metal líquido. El flujo forzado y el campo magnético impuesto causan fuerzas electromagnéticas.
Obviamente, mi experiencia en MHD proviene del plasma. Mi respuesta se basa en el caso del número de Reynolds magnético bajo. No estoy seguro de cómo la caja de metal líquido se diferencia del plasma, pero dado que se describen mediante las mismas ecuaciones, se comportan de manera similar. Si son físicamente diferentes, no estarían descritos por el mismo conjunto de ecuaciones, ¿no estás de acuerdo? ¿Puede darme una referencia a un caso en el que se impone un campo magnético estático uniforme en MHD? La ecuación 3 implica que solo puede ser cierto si el campo magnético es 0 dentro de MHD. Fuera del medio MHD no es necesariamente tan @Bernhard
Entendí los antecedentes diferentes :) Bueno, en MHD de metal líquido, la ecuación 3 nunca se usa explícitamente, pero eso no significa que la ley de Ampere no sea válida. Ejemplo (suponiendo que tenga acceso) journals.cambridge.org/action/… Flujo de MHD en un conducto. ¿Podemos mover esta discusión tal vez para chatear?

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