Derivación de ganancia de circuito cerrado ideal para retroalimentación negativa

Question

Derivación de ganancia de circuito cerrado ideal para retroalimentación negativa

Física
frecuencia
bucle cerrado
retroalimentación negativa
respuesta frecuente

Stefanino

Considerando un sistema de retroalimentación negativa, la función de transferencia Af en lazo cerrado viene dada por:

donde A es la función de transferencia de lazo abierto y AB es la ganancia de lazo.

Cada texto que leo dice que si la magnitud de la ganancia de bucle es mucho mayor que uno, entonces la ganancia de bucle cerrado se convierte en:

mientras que si la ganancia de lazo es mucho menor que uno, la ganancia de lazo cerrado se vuelve igual a la ganancia de lazo abierto A.

Estaría perfectamente de acuerdo con estas aproximaciones si todas las cantidades fueran reales. Pero, en general, tanto la ganancia de bucle abierto como la ganancia de bucle son cantidades complejas.

Pregunta: ¿Cómo puedo probar que si la magnitud de la ganancia de bucle es mucho mayor que uno, entonces la función de transferencia de bucle cerrado es aproximadamente igual a 1/B? Aquí mis cálculos:

En la última expresión, no puedo continuar: me gustaría deshacerme del término 2Re(BA), para que la raíz cuadrada se convirtiera exactamente en la magnitud de la ganancia del bucle y se simplificara con el numerador.

Respuestas (2)

Derivación de ganancia de circuito cerrado ideal para retroalimentación negativa

broma · Answer 1

Si piensas más geométricamente, entonces no es terriblemente complejo (perdón por el juego de palabras).

La multiplicación de números complejos es rotación y escala en sentido contrario a las agujas del reloj. La división es rotación en el sentido de las agujas del reloj y escala inversa.

En polar tienes $A=r_a e^{I\theta_a}=r_a\angle\theta_a$ y $\beta=r_b e^{I\theta_b}=r_b\angle\theta_b$ . Entonces la multiplicación solo produce $r_ar_b\:\angle\: \theta_a+\theta_b$ .

Entonces tu ecuación es:

\frac{r_{a} ∠ θ_{a}}{1 + r_{a} r_{b} ∠ θ_{a} + θ_{b}}

$\frac{r_a\angle\theta_a}{1+r_ar_b\:\angle\: \theta_a+\theta_b}$

Siempre y cuando $r_ar_b$ es mucho más grande que uno, esto se reduce (a través de la rotación en el sentido de las agujas del reloj debido a la división) a:

\frac{r_{a} ∠ θ_{a}}{r_{a} r_{b} ∠ θ_{a} + θ_{b}} = \frac{r_{a}}{r_{a} r_{b}} ∠ θ_{a} - (θ_{a} + θ_{b}) = \frac{1}{r_{b}} ∠ - θ_{b} = \frac{1}{r_{b} ∠ θ_{b}} = \frac{1}{β}

$\frac{r_a\angle\theta_a}{r_ar_b\:\angle\: \theta_a+\theta_b}=\frac{r_a}{r_ar_b}\angle \theta_a-\left(\theta_a+\theta_b\right)=\frac1{r_b}\angle -\theta_b=\frac1{r_b\angle \theta_b}=\frac1{\beta}$

Puede mantener esto en forma de Euler en su lugar como:

\frac{r_{a} {mi}^{I θ_{a}}}{1 + r_{a} r_{b} {mi}^{I (θ_{a} + θ_{b})}}

$\frac{r_a e^{I\theta_a}}{1+r_ar_b e^{I\left(\theta_a+\theta_b\right)}}$

Y de nuevo, mientras $r_ar_b$ es mucho más grande que uno:

\frac{r_{a} {mi}^{I θ_{a}}}{r_{a} r_{b} {mi}^{I (θ_{a} + θ_{b})}} = \frac{{mi}^{I θ_{a}}}{r_{b} {mi}^{I (θ_{a} + θ_{b})}} = \frac{1}{r_{b} {mi}^{I (θ_{a} + θ_{b})} {mi}^{- I θ_{a}}} = \frac{1}{r_{b} {mi}^{I θ_{b}}} = \frac{1}{β}

$\frac{r_a e^{I\theta_a}}{r_ar_b e^{I\left(\theta_a+\theta_b\right)}}=\frac{ e^{I\theta_a}}{r_b e^{I\left(\theta_a+\theta_b\right)}}=\frac1{r_b e^{I\left(\theta_a+\theta_b\right)}e^{-I\theta_a}}=\frac1{r_b e^{I\theta_b}}=\frac1{\beta}$

Si insistes, puedes $A=a +bI$ y $\beta=c+dI$ . Entonces $\mid A\mid=\sqrt{a^2 +b^2}$ y $\mid \beta\mid=\sqrt{c^2 +d^2}$ . Entonces su enfoque de valor absoluto produce:

\begin{aligned} \frac{∣ A ∣}{\sqrt{1 + a^{2} C^{2} + a^{2} d^{2} + b^{2} C^{2} + b^{2} d^{2} + 2 (a C - b d)}} \\ = \frac{∣ A ∣}{\sqrt{1 + ∣ β ∣^{2} \cdot ∣ A ∣^{2} + 2 (a C - b d)}} \end{aligned}

$\begin{align*} &\frac{\mid A\mid}{\sqrt{1+a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2+2\left(ac-bd\right)}}\\\\&=\frac{\mid A\mid}{\sqrt{1+\mid \beta\mid^2\cdot\mid A\mid^2+2\left(ac-bd\right)}} \end{align*}$

Y creo que aquí también se puede ver fácilmente la reducción.

Gracias por su respuesta. Pero, ¿quién dice que 2(ac-bd) es despreciable con respecto al resto?
@Stefanino Primero, ya debería poder ver que debe ser cierto a partir de las pruebas polares. 2do, lo hago. Y debería poder ver fácilmente por qué. Piense en cómo podría tratar de establecer un contra-caso. (Solo necesita uno). Luego vea a dónde lo lleva inevitablemente. Debes ser capaz de hacer tanta álgebra.
@Stefanino Han pasado 3 horas, así que aquí hay una pista: trate de imaginar cómo construiría un valor grande para $2\left(ac-bd\right)$ . Por ejemplo, deja $a\to\infty$ , $c\to\infty$ , $b=0$ y $d=0$ . eso tiene que hacer $2\left(ac-bd\right)$ bastante grande, ¿verdad? Ahora mira a dónde te lleva eso necesariamente en el denominador.
Tal vez lo entendí... Dado que b=d=0 antes de calcular el límite, entonces todos los términos que contienen b o d son 0. Entonces (1+ac)^2 está debajo de la raíz cuadrada. Pero en este caso, A=a y beta=c. Si betaxA es mucho mayor que 1, entonces se obtiene 1/beta.
@Stefanino Supongamos $b=0$ y $d=0$ y también $\mid \beta\mid^2\cdot\mid A\mid^2\gg 1$ , entonces esto significa $\left(ac\right)^2\gg 1$ y eso es muchísimo más grande que $2ac$ . Suponer $a=0$ y $c=0$ y también $\mid \beta\mid^2\cdot\mid A\mid^2\gg 1$ , entonces esto significa $\left(bd\right)^2\gg 1$ y eso es muchísimo más grande que $-2bd$ . Y, llevado al extremo, con $a\to\infty$ y $c\to\infty$ , es seguro que $\left(\infty\cdot\infty\right)^2$ es mucho más grande que $\infty\cdot\infty$ . El límite es claro y consistente con los resultados polares.

Neuroinglés · Answer 2

Creo que ha asumido en sus cálculos que A es un número real. de esa manera: Real(AB) = A Real(B) e Im(AB) = A Im(B), y pensando intuitivamente, que si A es mucho mayor que 1, A^2 es mucho mayor que A, por lo tanto { A/A^2 -> 0} .

Habiendo sabido eso, la expresión:

2Re(BA) + Re(BA)^2 + Im(BA)^2

se convierte en BA^2

volviendo a insertarlo, obtendrá de nuevo 1/B

Nota: si es estrictamente AB>>1 , de nuevo puedes pensar que:

(BA)^2 >> (BA), entonces en la expresión

2Re(BA) + Re(BA)^2 + Im(BA)^2

puedes volver a ver eso

BA^2 >> 2Re(BA)

dando de nuevo los mismos resultados.

Derivación de ganancia de circuito cerrado ideal para retroalimentación negativa

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