Densidad de probabilidad de detección de fotones emitidos colinealmente en dos detectores

Actualización :
según lo propuesto por @dmckee, agregué números de ecuación y mejoré la visualización de algunas ecuaciones.

La respuesta de @Trimok me inspiró a mirar los sistemas de coordenadas que no son específicos de las ubicaciones de los detectores, sino más generales, y esto de hecho aclaró las cosas ya que$\delta(\cos \theta + 1)$es un$\delta(\cos \theta + \cos 0)$disfrazada.

Tenemos una relación entre un delta de Dirac de un rayo en coordenadas esféricas,$\delta^2$, y una delta de Dirac de un punto,$\delta^3 = \delta(r-r_0)\delta(\theta-\theta_0)\delta(\phi-\phi_0)/(r^2 \sin \theta)$, tal que

$\delta^2 = \int_0^\infty \delta^3 \operatorname{d}r_0 = \delta(\theta-\theta_0) \delta(\phi-\phi_0) / (r^2 \sin\theta) \tag{E1}$

(Usando esta definición, uno puede mostrar fácilmente que la propiedad de tamizado de$\delta^2$se cumple y el resultado es una integral de línea de algunos$f$.)

El principal problema (de comprensión) que tengo ahora se reduce a esto: tenemos dos expresiones para$\delta^3$, que son$\delta(r-r_0)\delta(\theta-\theta_0)\delta(\phi-\phi_0)/(r^2 \sin \theta) \tag{E2}$y$\delta(r-r_0)\delta(\theta-\theta_0)\delta(\phi-\phi_0)/(r_0^2 \sin \theta_0) \tag{E3}$Estos son totalmente simétricos en$x$y$x_0$(tenga en cuenta que$\delta$es una función par).

Sin embargo, por$\delta^2$tenemos$\delta(\theta-\theta_0)\delta(\phi-\phi_0)/(r^2 \sin \theta) \tag{E4}$y$\delta(\theta-\theta_0)\delta(\phi-\phi_0)/(r^2 \sin \theta_0) \tag{E5}$que ya no son simétricos. Entonces, ¿qué hace que el$r$sobresalir en comparación con$r_0$?

Una explicación que elaboré con la ayuda de un colega está dirigida al hecho de que no hay$r_0$después de la integración, por lo que tener cualquier$r_0$"sobredeterminaría" el conjunto de rayos a través del origen. ¿Alguien tiene una explicación mejor (por ejemplo, más intuitiva) de por qué se pierde la simetría aquí?

¡Gracias!

Pregunta original :
esta es larga. He estado trabajando en esto durante bastante tiempo, así que resumí la mayor parte de lo que descubrí. Sin embargo, estoy atascado en cierto punto, y sería genial si alguien pudiera ayudarme.

Supongamos la siguiente situación: dos fotones perfectamente colineales$p_1$y$p_2$se emiten en el origen de algún sistema de coordenadas cartesianas. Consideramos dos detectores infinitesimales$d_1$y$d_2$, con superficies$\operatorname{d}\!A_1$y$\operatorname{d}\!A_2$dirigido hacia el origen para que no tengamos que lidiar con ángulos. Los ángulos sólidos de estos detectores ser$\operatorname{d}\!\Omega_1$y$\operatorname{d}\!\Omega_2$.

Ahora expreso algunas densidades de probabilidad de detección básicas, donde$p_id_i$significa que "$p_i$se emite hacia$d_i$".
$\frac{\operatorname{d}\!P(p_1d_1)}{\operatorname{d}\!\Omega_1}=\frac{1}{4\pi} \tag{1}$

$\frac{\operatorname{d}\!P(p_1d_1)}{\operatorname{d}\!A_1}=\frac{1}{4\pi (r_1)^2} \tag{2}$

$\frac{\operatorname{d}\!P(p_2d_2)}{\operatorname{d}\!\Omega_2}=\frac{1}{4\pi} \tag{3}$

$\frac{\operatorname{d}\!P(p_2d_2)}{\operatorname{d}\!A_2}=\frac{1}{4\pi (r_2)^2} \tag{4}$

Creo que no hay duda de que estas probabilidades están bien definidas y las probabilidades de detección integradas en una forma esférica$4\pi$-detector es igual a 1, sin importar cuál sea su radio. Por lo tanto, seguramente se emite un fotón hacia un detector que rodea el origen.

Ahora, por alguna razón queremos calcular$P(p_2d_2 | p_1d_1)$, la probabilidad condicional de$p_2$emitido hacia$d_2$, dado que$p_1$ha sido emitido hacia$d_1$. Debido a la colinealidad de los fotones, los eventos individuales no son independientes:$P(p_2d_2 | p_1d_1) \neq P(p_2d_2)$.

ahora propongo que

$\frac{\operatorname{d}\!P(p_2d_2 | p_1d_1)}{\operatorname{d}\!\Omega_2} = \frac{\delta(\cos \theta_2(d_1)+1)}{2\pi}, \tag{5}$

dónde$\theta_2(d_1)$es el ángulo polar de la posición de$d_2$expresado en coordenadas esféricas con eje polar desde el origen hasta$d_1$.$\delta$es la función de Dirac, entonces obviamente, esta expresión es igual a 0 si$\cos \theta_2(d_1) \neq -1$, Eso es cuando$\theta_2(d_1) \neq \pi$.

Podemos verificar que la integral de esta probabilidad sobre una esférica$4\pi$-detector$d_2$igual a 1: con$\operatorname{d}\!\Omega_2 = \operatorname{d}\!\cos \theta_2(d_1) \operatorname{d}\!\phi_2(d_1)$, encontramos

$\int \frac{\operatorname{d}\!P(p_2d_2 | p_1d_1)}{\operatorname{d}\!\Omega_2} \operatorname{d}\!\Omega_2 = \int \frac{\delta(\cos \theta_2(d_1)+1)}{2\pi} \operatorname{d}\!\Omega_2 \tag{6}$

$= \int_0^{2\pi} \frac{1}{2\pi} \operatorname{d}\!\phi_2(d_1) \cdot \int_0^\pi \delta(\cos \theta_2(d_1)+1) \operatorname{d}\!\cos \theta_2(d_1) = 1. \tag{6}$

Entonces$p_2$todavía se emite seguramente hacia un detector que rodea el origen, sin importar dónde$p_1$se emite hacia.

Además, nos gustaría verificar que la ley de probabilidad total se cumple integrando$P(p_1d_1 \wedge p_2d_2) = P(p_2d_2 | p_1d_1) \cdot P(p_1d_1)$sobre una esfera$4\pi$-detector$d_1$. Esto funciona independientemente de qué formulación de$\operatorname{d}\!P(p_1d_1)$(con respecto a$\operatorname{d}\!\Omega_1$o$\operatorname{d}\!A_1$) usamos -- elegí$\operatorname{d}\!A_1 = (r_1)^2 \operatorname{d}\!\cos \theta_1(d_2) \operatorname{d}\!\phi_1(d_2)$aquí.

Nótese, sin embargo, que la integración sobre$d_1$cambia el eje polar utilizado en la formulación de$\operatorname{d}\!P(p_2d_2 | p_1d_1)$anterior, por lo que necesitamos una formulación diferente, pero equivalente. Esto es más que un cambio de sistema de coordenadas (de un eje polar a otro), porque$\theta_2(d_2)$no nos ayudaría mucho (es 0). En cambio, uno puede usar

$\frac{\operatorname{d}\!P(p_2d_2 | p_1d_1)}{\operatorname{d}\!\Omega_2}=\frac{\delta(\cos \theta_1(d_2)+1)}{2\pi}, \tag{7}$

que utiliza una variable diferente en el argumento de la$\delta$así como un sistema de coordenadas diferente:$\theta_1(d_2)$es el ángulo polar del detector$d_1$La ubicación de 's en coordenadas esféricas con eje polar desde el origen hasta$d_2$. Nótese que ambas expresiones de$\frac{\operatorname{d}\!P(p_2d_2 | p_1d_1)}{\operatorname{d}\!\Omega_2}$son simétricos en los índices 1 y 2.

Finalmente, llegamos a

$\int \frac{\operatorname{d}\!P(p_1d_1 \wedge p_2d_2)}{\operatorname{d}\!A_1 \operatorname{d}\!\Omega_2} \operatorname{d}\!A_1 = \int_0^{2\pi} \int_0^\pi \frac{1}{4\pi (r_1)^2} \cdot \frac{\delta(\cos \theta_1(d_2)+1)}{2\pi} (r_1)^2 \operatorname{d}\!\cos \theta_1(d_2) \operatorname{d}\!\phi_1(d_2) \tag{8}$

$= \frac{1}{4\pi} \int_0^{2\pi} \frac{1}{2\pi} \operatorname{d}\!\phi_1(d_2) \cdot \int_0^\pi \delta(\cos \theta_1(d_2)-1) \operatorname{d}\!\cos \theta_1(d_2) = \frac{1}{4\pi} = \frac{\operatorname{d}\!P(p_2d_2)}{\operatorname{d}\!\Omega_2} \tag{8}$

Entonces, se cumple la ley de la probabilidad total: la probabilidad de$p_2$siendo emitido hacia$d_2$puede dividirse en todas las probabilidades condicionales de$p_2$siendo emitido hacia$d_2$ dado que $p_1$ha sido emitido hacia$d_1$, ponderada por la probabilidad de que$p_1$se emite realmente hacia$d_1$.

Hasta ahora, todo bien. Felicitaciones por leer hasta este punto :)

Como se expresó anteriormente (y verificable con relativa facilidad), no importa qué formulación de$\operatorname{d}\!P(p_1d_1)$Yo uso - ambos$\operatorname{d}\!\Omega_1$y$\operatorname{d}\!A_1$trabaja bien. Sin embargo, cuando trato de basar mis cálculos en$\frac{\operatorname{d}\!P(p_2d_2)}{\operatorname{d}\!A_2}$en lugar de$\frac{\operatorname{d}\!P(p_2d_2)}{\operatorname{d}\!\Omega_2}$, por lo tanto, trato de calcular$\frac{\operatorname{d}\!P(p_2d_2 | p_1d_1)}{\operatorname{d}\!A_2}$en lugar de$\frac{\operatorname{d}\!P(p_2d_2 | p_1d_1)}{\operatorname{d}\!\Omega_2}$, llego al siguiente problema.

Así que empecé con

$\frac{\operatorname{d}\!P(p_2d_2 | p_1d_1)}{\operatorname{d}\!A_2}=\frac{\delta(\cos \theta_2(d_1)+1)}{2\pi (r_2)^2}, \tag{9}$

y (6) todavía se verifica fácilmente (integrando sobre$\operatorname{d}\!A_2$) ya que los dos adicionales$(r_2)^2$simplemente cancelar.

Sin embargo, calcular (8) ahora es más complejo cuando se trata de cambiar de un sistema de variables/coordenadas a otro. Lo imaginé

$\frac{\operatorname{d}\!P(p_2d_2 | p_1d_1)}{\operatorname{d}\!A_2}=\frac{\delta(\cos \theta_1(d_2)+1)}{2\pi (r_2)^2} \tag{10}$

es la expresión que cumple con la probabilidad total (puedo mostrar esto, si es necesario), pero ahora me pregunto por qué esto no es simétrico con la primera expresión en los índices 1 y 2 (como lo fue arriba). Específicamente, me pregunto dónde está la conexión a un Dirac de un rayo a lo largo de Oz en coordenadas esféricas, que es$\frac{\delta(\cos \theta - 1)}{2\pi r^2}$(comparar http://www.physicsforums.com/showthread.php?t=215263 )

De manera más general, estoy trabajando para expresar la densidad de probabilidad en 3D, por lo que espero obtener algo como$\operatorname{d}\!\Omega_2 \cdot \delta_{L(x_1, x_2)}(x_0)$o$\operatorname{d}\!A_2 \cdot \delta_{L(x_1, x_2)}(x_0)$, dónde$L(x_1, x_2)$es el segmento de línea de$x_1$y$x_2$, y$x_0$es el punto de emisión.

Así que mis preguntas específicas son:

• ¿Por qué las expresiones involucran$\operatorname{d}\!A_2$no simétricos, mientras que los que implican$\operatorname{d}\!\Omega_2$¿son?

• Específicamente, ¿dónde está la conexión con el Dirac de un rayo en coordenadas esféricas, que implica un$r^2$y que esperaría cambiar al convertir de un sistema de coordenadas a otro.

• ¿Cómo (si no) puedo obtener una densidad de probabilidad 3D que involucre las tres ubicaciones, que se pueda usar para integrar los tres volúmenes para describir la cantidad de coincidencias detectadas a partir de las emisiones de un volumen en dos detectores finitos?