Demostrando el límite de la matriz doblemente estocástica

Question

Demostrando el límite de la matriz doblemente estocástica

Matemáticas
cadenas de markov
matriz de transición
procesos estocásticos

jeje97

Sea n > 0 y Xn una cadena de Markov aperiódica irreducible que tiene una matriz de transición doblemente estocástica. Por definición, $\sum_{y∈S} P(x,y) = 1$ y $\sum_{x∈S} P(x,y) = 1$ para todo xy ∈ S. Quiero mostrar que si |S| < $\infty$ entonces $P^{n}(x,y)\rightarrow 1/|S|$ como $n\rightarrow \infty$

¿Podría alguien por favor ayudar? ¡¡¡Gracias de antemano!!!

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Demostrando el límite de la matriz doblemente estocástica

Kavi Rama Murthy · Answer 1

Un teorema básico en la teoría MC muestra que el límite existe y es independiente de $x$ . Dejar $\pi (y)=\lim P^{n}(x,y)$ . Ahora $\sum_{x \in S} P(x,y)=1$ también da $\sum_{x \in S} P^{n}(x,y)=1$ para todos $n$ . Dado que esta es una suma finita, podemos tomar el límite como $n \to \infty$ para ver eso $\sum_{x \in S} \pi (y)=1$ lo que significa $|S| \pi (y)=1$ o $\pi (y)=\frac 1 {|S|}$ .

Referencia para el teorema del límite: Teorema III.2.1, pág. 67 de 'Cadenas de Markov: teoría y aplicaciones' de Isaakson y Madsen.

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jeje97

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Kavi Rama Murthy

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