Delta-V a la órbita baja de Marte

Analicemos su problema en una fase de lanzamiento muy simplificada desde el suelo hasta la órbita terrestre baja a 250 km de altitud. Luego usaremos cónicas de parche para obtener una estimación de la$\Delta v$necesario para alcanzar una órbita baja de Marte de 80 km de altitud.

Un método que me gusta usar para obtener estimaciones aproximadas del lanzamiento requerido$\Delta v$es considerar primero un impulso instantáneo en el suelo que le dará la velocidad suficiente para alcanzar la altitud de la órbita objetivo (como lanzar una pelota con la velocidad suficiente para que alcance la altitud de la órbita en su punto máximo), luego considere otro impulso instantáneo en ese punto que le da suficiente velocidad para alcanzar la órbita.

Energía potencial en tierra y en órbita (donde$\mu_{Earth}$es el parámetro gravitacional de la Tierra --$\mu_{Earth} = 398601.2$ $\frac{\text{km}^3}{s^2}$):

$V_{ground} = -\frac{\mu_{Earth}}{r_{ground}}$

$V_{orbit} = -\frac{\mu_{Earth}}{r_{orbit}}$

Asumiremos que comenzamos en el radio medio de la Tierra de 6378 km (el radio real en el Centro Espacial Kennedy podría sustituirse, pero probablemente no hará una diferencia significativa considerando nuestro análisis crudo). Eso nos da una diferencia de energía potencial de 2,357 kJ/kg, lo que se traduce en una velocidad inicial requerida de 2,171 km/s.

Una vez que alcancemos nuestra altura máxima de 250 km, estaremos a velocidad cero y necesitaremos acelerar a una velocidad orbital de 7,755 km/s según la siguiente ecuación.

$v_{orbit} = \sqrt{\frac{\mu_{Earth}}{r_{orbit}}}$

Entonces eso nos da un lanzamiento total.$\Delta v$de unos 9,926 km/s. Si lanza desde el ecuador hacia el este, tendrá una velocidad inicial de 0,465 km/s de la rotación de la Tierra, por lo que podría reducir su lanzamiento.$\Delta v$a 9,461 km/s. Esto es probablemente un 5-10% más alto que el valor real, pero es una buena aproximación conservadora.

A continuación, usamos cónicas de parche para analizar la transferencia interplanetaria. La siguiente figura muestra la trayectoria interplanetaria usando una transferencia de Hohmann desde la Tierra a Marte en el centro, donde podemos asumir que nuestros radios heliocéntricos son los de los planetas. Las esferas de influencia de la Tierra y Marte se expanden a la izquierda y a la derecha, respectivamente, para mostrar las trayectorias hiperbólicas en el marco de referencia de cada planeta, así como las órbitas planetarias.

Primero encontramos el eje semi-mayor de la órbita de transferencia de Marte o MTO,$a_{MTO}$, basado en los radios de las órbitas de la Tierra y Marte (que suponemos que son circulares para este análisis).

$a_{MTO} = \frac{1}{2} \left( r_{Earth} + r_{Mars} \right)$

Entonces podemos encontrar las velocidades de la nave espacial cuando sale de la Tierra y cuando llega a Marte.

$v_{MTO,E} = \sqrt{\mu_{Sun} \left( \frac{2}{r_{Earth}} - \frac{1}{a_{MTO}}\right)}$

$v_{MTO,M} = \sqrt{\mu_{Sun} \left( \frac{2}{r_{Mars}} - \frac{1}{a_{MTO}}\right)}$

En el marco de referencia de la Tierra, consideramos que la nave espacial "sale" cuando deja la esfera de influencia o SOI (en un radio de aproximadamente 924000 km). Supongamos que podemos configurar nuestra trayectoria de escape hiperbólica para que nuestra velocidad en el marco heliocéntrico sea paralela a la de la Tierra. Eso significa que en el marco de la Tierra, nuestra velocidad en el borde de la SOI será:

$v_{SOI,E} = v_{MTO,E} - v_{Earth}$

Donde$v_{Earth} = \sqrt{\frac{\mu_{Sun}}{r_{Earth}}}$

Dado el radio y la velocidad en el SOI, podemos encontrar el semieje mayor de la trayectoria de escape, así como la velocidad de inserción MTO requerida para salir de la órbita terrestre baja:

$a_{MTO,E} = \left( \frac{2}{r_{SOI,E}} - \frac{v^2_{SOI,E}}{\mu_{Earth}}\right)^{-1}$

$v_{Insertion} = \sqrt{\mu_{Earth} \left( \frac{2}{r_{LEO}} - \frac{1}{a_{MTO,E}}\right)}$

Tenga en cuenta que nuestra velocidad en LEO es:

$v_{LEO} = \sqrt{\frac{\mu_{Earth}}{r_{LEO}}}$

Conectando nuestros números, obtenemos$v_{Insertion} = 11.318$km/s y$v_{LEO} = 7.755$km/s, resultando en un requerido$\Delta v$de 3,563 km/s para salir de LEO y entrar en MTO.

A continuación, usamos el mismo análisis en Marte, donde el lado derecho de la figura anterior muestra la trayectoria de encuentro hiperbólico de la nave espacial, así como la órbita baja de Marte objetivo.

Primero determinamos la velocidad relativa que tendrá la nave espacial en el borde de la esfera de influencia (suponiendo nuevamente que la velocidad es inicialmente paralela a la de Marte):

$v_{SOI,M} = v_{Mars} - v_{MTO,M}$

A continuación, determinamos el semieje mayor de la órbita hiperbólica y la velocidad de encuentro en el periápside (que estará en el radio bajo de la órbita de Marte):

$a_{MTO,M} = \left( \frac{2}{r_{SOI,M}} - \frac{v^2_{SOI,M}}{\mu_{Mars}}\right)^{-1}$

$v_{Rendezvous} = \sqrt{\mu_{Mars} \left( \frac{2}{r_{LMO}} - \frac{1}{a_{MTO,M}}\right)}$

Tenga en cuenta que nuestra velocidad en LMO es:

$v_{LMO} = \sqrt{\frac{\mu_{Mars}}{r_{LMO}}}$

Conectando nuestros números, obtenemos$v_{Rendezvous} = 5.618$km/s y$v_{LMO} = 3.514$km/s, resultando en un requerido$\Delta v$de 2,105 km/s para entrar en LMO desde la órbita de transferencia de Marte.

Con esas dos maniobras, el total$\Delta v$para la transferencia interplanetaria es de 5,668 km/s. Agregando el lanzamiento aproximado$\Delta v$da como resultado un gran total de 15,129 km/s, que debería estar al alcance de su diseño.

He hecho una hoja de cálculo para cosas como esta. Asume órbitas coplanares circulares, por lo que los números son aproximados.

Aquí hay una captura de pantalla:

Establecí la altitud apoaerion de la elipse en la Esfera de influencia. Esta es una órbita de captura, la influencia del sol no la arrancará pronto.

Establecí la altitud periaerion de la elipse en 100 km. La nave pasa a través de la atmósfera superior de Marte cada periaerion. La fricción atmosférica perderá velocidad en cada pasada, lo que servirá para reducir el apoaerión. Cuando el apoaerion alcance los 400 km aproximadamente, una pequeña quemadura servirá para elevar el periapsis por encima de la atmósfera.

Entonces, a la llegada a Marte, se necesitará una quemadura perierion de 0,7 km/s para lograr la captura y, finalmente, una órbita circular baja.