Curvas de supervivencia: ¿la tasa de mortalidad de la curva tipo II no es constante?

$r$es la tasa de mortalidad individual por paso de tiempo. Las curvas de supervivencia (graficadas en una escala logarítmica) muestran la proporción de individuos que sobreviven con el tiempo, y con una curva Tipo II, una proporción constante muere en cada paso de tiempo (mortalidad constante con la edad,$r$). Cuando el modelo se expresa como$y$usted está viendo el número de individuos que sobreviven a un paso de tiempo, que es un exponencial negativo para el Tipo II, ya que una proporción cada vez menor de la población permanece en cada paso de tiempo. Por lo tanto$y'$es el cambio (pendiente) en el número de individuos que sobreviven a lo largo del tiempo. Esto puede verse como una tasa, pero no es la tasa de mortalidad de los individuos, y no es exacto describirla como la "..tasa de mortalidad real.. ".

Para obtener una introducción a las curvas de supervivencia, también puede consultar "Curvas de supervivencia" de Nature Education

Para tiempo discreto

Hay dos cantidades que debe tener cuidado de no confundir.

• Uno es el número de individuos que morirán durante un intervalo dado:$d_x = N_x - N_{x+1}$.
• Uno es la fracción , de los vivos al comienzo de un intervalo dado, que morirá durante el intervalo:$q_x = \frac{d_x}{N_x}$

($N_x$siendo el número de sobrevivientes a la edad$x$.)

En una parcela regular , si$d_x$es constante, entonces la supervivencia disminuirá linealmente; si$q_x$es constante, entonces la supervivencia disminuirá geométricamente. En una gráfica semilogarítmica , cuando$q_x$es constante, entonces esta disminución geométrica se verá como una línea recta. Esta es, hasta donde yo sé, la razón principal para usar diagramas semilogarítmicos en primer lugar; hace que la disminución geométrica sea fácil de reconocer.$d_x$a veces se denomina tasa de mortalidad y$q_x$a veces se denomina tasa de mortalidad .

(En mi opinión, este uso es descuidado; no son tarifas, sino solo números. Compare: hay una distinción entre viajar 10 millas en una hora y viajar a 10 millas por hora).

$q_x$también se puede considerar como una estimación de la probabilidad de que alguien de edad$x$morirá antes de la edad$(x+1)$. Por lo tanto, a veces también se le llama "Probabilidad de muerte específica por edad" . Observe que está acotado entre 0 y 1.

(Las probabilidades no pueden ser inferiores a 0 ni superiores a 1; ¡y la fracción que muere tiene que estar entre "ninguno de ellos" y "todos ellos"!)

Aquí hay un ejemplo de curva de supervivencia, en una trama regular, hice para constante$q_x = 0.1$.

Esto debería ser suficiente para responder a su pregunta. Pero, para completar...

Por Tiempo Continuo

me quejé de llamar$d_x$la tasa de mortalidad Eso es porque las tasas tienen una unidad de$time^{-1}$("... por segundo ", "... por hora ", etc.) Por supuesto, dividiendo$d_x$por la duración del intervalo, le da la tasa de mortalidad promedio durante el intervalo. Y,

• La pendiente de la curva de supervivencia (multiplicada por -1; queremos una tasa de disminución positiva, en lugar de una tasa de aumento negativa) te da la tasa de mortalidad instantánea a la edad$x$:$-N^{'}_{x}$.

(Para que las tasas instantáneas sean útiles, tenemos que "suavizar" la curva de supervivencia en lugar de dejar que sea una curva escalonada. Si fuera escalonada, la pendiente siempre sería horizontal o vertical).

Esto nos lleva a otra cantidad: la " Fuerza de la Mortalidad ":

• La tasa de mortalidad per cápita instantánea, específica por edad ; o, la tasa de mortalidad a la edad$x$, dividido por el tamaño de la cohorte a la edad$x$:$\mu_x = -\frac{N^{'}_{x}}{N_x}$

Para ilustrar, si la tasa de mortalidad a la edad$x$es " 60 muertes por minuto ", y si en ese instante hay 60 personas, entonces la tasa de mortalidad per cápita es " 1 muerte por persona por minuto ". Debido a que la elección de la unidad de tiempo es arbitraria, esto es lo mismo que decir " 60 muertes por persona por hora " o " 525600 muertes por persona por año ".

La Fuerza de la Mortalidad no es intuitiva (¿tasa de mortalidad "per cápita"? - ¡pero todos mueren solo una vez!) pero la fórmula es coherente. El objetivo de tener una "tasa per cápita" es permitir la comparación entre cohortes de diferentes tamaños, o la misma cohorte en diferentes edades cuando era más grande o más pequeña, y así sucesivamente; en general, la idea es que la tasa de mortalidad tiene algo que ver con el número de miembros, pero también algo que ver con la condición de cada miembro, y$\mu_x$está tratando de llegar a este último. Se puede visualizar como la pendiente de la curva de supervivencia (multiplicada por -1 para que sea positiva), dividida por la altura de la curva de supervivencia.

Hay una similitud entre estas dos cantidades y las dos que se definieron para tiempo discreto. Si$-N^{'}_{x}$es constante, entonces también lo es$d_x$; y si$\mu_x$es constante, entonces también lo es$q_x$. Y, de nuevo: en una trama regular, si$-N^{'}_{x}$es constante, entonces la supervivencia disminuirá linealmente; y si$\mu_x$es constante, entonces la supervivencia disminuirá exponencialmente.

Pero son distintos. Es el$time^{-1}$dimensión, y el hecho de que las unidades de tiempo son intercambiables, lo que marca la diferencia.

Si solo hay 60 personas, obviamente no es posible que mueran más de 60 personas en el próximo año.$(0 \le d_x \le 60)$; y no es posible que la fracción que muere sea mayor que "todos ellos"$(0 \le q_x \le 1)$.

Pero supongamos que la tasa de muerte en este instante es de " 60 muertes por hora ". Eso es lo mismo que decir que es " 1 muerte por minuto " o " 525600 muertes por año ". No hay implicación de que mucha gente de hecho muera, porque no hay implicación de que la tasa se mantendrá durante todo el año. Si esta tasa de mortalidad en particular se mantuviera constante el mayor tiempo posible, entonces la cohorte estaría muerta en exactamente una hora y luego la tasa llegaría a 0. La tasa de mortalidad instantánea puede ser tan alta como desee; simplemente no puede permanecer alto para siempre .

(Si se mide una tasa de mortalidad de " 60 muertes por hora " en un instante cuando hay 60 personas, entonces la tasa de mortalidad per cápita es " 1 muerte por persona por hora " o, de manera equivalente, "$\frac{1}{60}^{th}$de una muerte por persona por hora ", o " 8760 muertes por persona por año ".)

Aunque la tasa de mortalidad absoluta no puede permanecer alta para siempre, la tasa de mortalidad per cápita ($\mu_x$) puede . Eso es lo que sucede durante constante$\mu_x$(exponencialmente decreciente$N_x$), por ejemplo. La razón por la que esto no es paradójico es que la pendiente ($-N^{'}_{x}$; el numerador) es constantemente decreciente; es solo que también lo es la altura ($N_x$; el denominador).

La fuerza de la mortalidad$\mu_x$también se ha denominado a veces " tasa de mortalidad ". El uso equívoco del lenguaje es desafortunado. También se conoce, especialmente en ingeniería de confiabilidad, como la "tasa de riesgo".

De paso

$q_x$y$\mu_x$a menudo se han combinado, al menos en gerontología (con la que estoy más familiarizado). Pero no son los mismos. El primero estima una probabilidad y está acotado entre 0 y 1. El segundo no es una probabilidad y no tiene límite superior.

Una forma en que se han combinado es con la " ecuación de Gompertz ".

Una Curva de Supervivencia Tipo II es aquella que está decreciendo exponencialmente. Cuando este es el caso, ambos$q_x$y$\mu_x$son constantes. Llamaríamos a tal especie "no envejecedora" o "no senescente": tu edad no hace ninguna diferencia en tu vulnerabilidad.

Pero muchas especies envejecen.

Benjamin Gompertz propuso que para muchas especies, incluidos los humanos$\mu_x$crece exponencialmente a lo largo de la edad adulta:

• Ley de la Mortalidad de Gompertz:$\mu_x = \mu_0 \cdot e^{Gx}$
• O, en su forma logarítmica:$ln(\mu_x) = ln(\mu_0) + Gx$

(Dónde$\mu_0$es la "mortalidad inicial" y$G$es el "parámetro de Gompertz" exponencial. En la forma logarítmica,$ln(\mu_0)$es el intercepto, y$G$es la pendiente.)

Si o no$\mu_x$sigue tal ley indefinidamente es una cuestión empírica. (En realidad, se debate si se desacelera en la vejez y, de ser así, por qué). Pero observe que$q_x$posiblemente no podría crecer exponencialmente para siempre, ya que$q_x$posiblemente nunca podría exceder 1. Y, sin embargo, debido a la fusión, en los últimos tiempos a menudo ha sido en términos de$q_x$que la ecuación de Gompertz ha sido presentada y discutida.

Otras lecturas

Desafortunadamente, hasta donde yo sé, la literatura (tanto profesional como pedagógica) carece de tratamientos que sean tanto intuitivos como precisos.

"La definición y medición de la senescencia" de Peter Medawar (Capítulo 1 en The CIBA Foundation Colloquia on Ageing, Vol. 1 ) sigue siendo probablemente la mejor introducción a la lógica detrás de por qué nos preocupamos por las curvas de supervivencia y la mortalidad, desde la perspectiva de la biogerontología. Medawar da la definición y fórmula correctas para$\mu_x$(aunque no enfatiza su distinción de$q_x$; de hecho, no menciona$q_x$en absoluto).

La distinción entre$q_x$y$\mu_x$se analiza en The Biology of Life Span: A Quantitative Approach de Gavrilov y Gavrilova , así como en algunos de sus artículos. Presentan la fórmula correcta para$\mu_x$, pero realmente no trate de explicarlo.

Esta es una propiedad estadística de la curva: en el análisis del tiempo hasta el evento (que es lo que es una curva de supervivencia), un riesgo constante (la probabilidad instantánea de que ocurra un evento en el tiempo t dado que aún no ha ocurrido) producirá una distribución exponencial. función de supervivencia. Cuando se grafica en un eje logarítmico, esta función parece una línea recta.