¿Cuántos estados hay en el universo observable?

Si supieras la máxima entropía$S_{\text{max}}$posible para un sistema, entonces sabes cuántos estados posibles hay porque

$$S_{\text{max}}=\sup_{p_n}\left\{-\sum_nkp_n\log p_n\right\}=k\log N,$$ dónde$k$es la constante de Bolzmann, y$N$es el número de estados. Hay un límite a la cantidad de entropía que puede contener un volumen de espacio, y un agujero negro proporciona tal estado de máxima entropía en una región del espacio. Ahora la entropía de un agujero negro es proporcional al área de superficie$A$(sorprendentemente no es el volumen del espacio) y viene dada por $$S=\frac{kA}{4\hbar G/c^3}=\frac{kA}{4\ell_p^2},$$ dónde$G$es la constante gravitacional de Newton,$\hbar$es la constante de Plank,$c$es la velocidad de la luz y$\ell_p$es la longitud del tablón. Entonces, el número de estados posibles en el universo está dado por $$N=\exp(A/4\ell_p^2)=\exp(4\pi R^2/\ell_p^2),$$ dónde$R$es el radio del universo observable.

Ahora el radio del universo observable es de aproximadamente

$$R=47\text{ billion light-years}\approx10^{26}\text{ meters},$$ y$\ell_p\approx 10^{-35}\text{ meters}$, entonces $$N\approx\exp\left(10^{123}\right).$$

¿Ese número estaría relacionado con la información?

La entropía es la información (Shannon) (si establecemos$k=1$) por lo que la información es$\approx 10^{123}\text{ nats} = \log_2(e)\times 10^{123}\text{ bits}$.

El límite de Bekenstein ,

$$S \le \frac{2\pi rE}{\hbar c},$$

es un límite en el logaritmo natural del número de estados posibles (es decir, el contenido de información) de una región esférica de espacio de radio$r$, que contiene masa-energía$E$. La masa de los átomos de hidrógeno en el universo observable es$\sim 10^{54}$kg, y la materia oscura no bariónica es probablemente unas 5 veces eso, o llámese$10^{55}$kg. El radio del universo observable es de aproximadamente$4\times10^{26}$metro. No sé si la energía oscura debe contarse aquí o no, así que no la contaré. Esto da

$$S \lesssim 10^{125}.$$

Entonces, el número de posibles microestados podría ser algo así como$\exp(10^{125})$. Casi todos estos corresponden a macroestados en los que toda la masa del universo observable se habría concentrado hipotéticamente en un solo agujero negro. Se ha estimado que la entropía real del universo observable es de aproximadamente$10^{102}$[Frampton 2008]. El hecho de que este número sea mucho más pequeño nos dice que el universo no ha experimentado la muerte por calor.

En general, no estoy seguro de qué tan en serio tomar la estimación usando el límite de Bekenstein. En la relatividad, a diferencia de la física no relativista, el volumen total del universo no es fijo. Eso ayuda a que la noción cosmológica de la entropía sea confusa, y creo que probablemente no sea una cuestión resuelta, ya que no tenemos una teoría de la gravedad cuántica. No sé si hay alguna forma significativa de responder a la pregunta: "¿Qué tan diferente sería el volumen de esta región del espacio-tiempo si estuviera en un estado diferente?"

Frampton et al., "¿Cuál es la entropía del universo?", 2008, https://arxiv.org/abs/0801.1847