¿Cuánto tiempo tarda un quimiostato en alcanzar el equilibrio?

Este tipo de cosas generalmente se calcula utilizando la teoría de la estabilidad lineal. Esencialmente, uno reemplaza un conjunto de ecuaciones no lineales con ecuaciones lineales que las aproximan en la región del punto fijo. El resultado es un conjunto de ecuaciones dinámicas de la forma

$$\mathbf{\dot y} = J \mathbf{y}, \tag{1}$$ dónde $x_1 = s-\tilde s$, $y_2 = x - \tilde y$, y $J$es la matriz jacobiana del sistema original, dada por $$J = \left( \begin{array}{cc} \frac{\partial \dot s}{\partial s} & \frac{\partial \dot s}{\partial x} \\ \frac{\partial \dot x}{\partial s} & \frac{\partial \dot x}{\partial x} \end{array}\right).$$

Espero que me perdonen por no resolver el álgebra, pero debería ser una cuestión simple calcular los componentes de$J$en términos de$x$y$s$.

El objetivo de hacer esto es que la estabilidad y el tiempo de retorno de un sistema lineal se pueden calcular fácilmente examinando los valores propios de$J$. Si cualquier valor propio tiene un componente real positivo, entonces el punto fijo será inestable, pero en su caso (siempre que los parámetros sean sensibles) todos tendrán partes reales negativas.

Ahora, las soluciones a la ecuación$(1)$tener la forma

$$\mathbf{y}(t) = \sum_j A_j \mathbf{v}_j e^{\lambda_j t},$$ dónde y $\lambda_j$y $\mathbf{v}_j$son valores propios y vectores propios de $J$, respectivamente y las constantes $A_j$están determinados por las condiciones iniciales. El $\lambda_j$a veces serán complejas, y si las expresamos en la forma $\lambda_j = r_j + i\omega_j$la solución se convierte $$\mathbf{y}(t) = \sum_j A_j \mathbf{v}_j e^{r_j t} e^{i\omega_j t} = \sum_j A_j \mathbf{v}_j e^{r_j t} (\cos \omega_j t + i\sin \omega_j t).$$ Los valores propios complejos siempre vienen en pares conjugados, de modo que el $i\sin\omega_j t$los términos se cancelan.

Nos quedamos con una suma de decrecimiento exponencial (ya que cada$r_j$es negativa) y posiblemente trayectorias oscilantes. Los de menor$r_j$decaerá más rápidamente, por lo que después de un tiempo suficiente la trayectoria estará dominada por un término que decae como$e^{rt}$, dónde$r$es la parte real del valor propio con la parte real más grande.

Por lo tanto, podemos decir que, si la perturbación es lo suficientemente pequeña, el sistema no lineal original decaerá hacia el equilibrio con un tiempo característico dado por$-1/r$, dónde$r=\max_j \{ \Re(\lambda_j) \}$. Este es (aproximadamente) el tiempo necesario para que la distancia desde el equilibrio decaiga hasta$1/e$de su valor original, y es lo que generalmente se cotiza como el tiempo de retorno.

Debería encontrar todo lo anterior en cualquier libro de texto decente sobre teoría de sistemas dinámicos. Dado que su sistema es bidimensional, puede obtener una expresión analítica para$r$escribiendo el polinomio característico de$J$y usando la fórmula cuadrática para resolverlo. Si esto dará como resultado una expresión agradable o no, no lo sé.

Ahora, quedan un par de cosas por considerar. En primer lugar, preguntó sobre un cambio en los parámetros en lugar de una pequeña perturbación en el sistema. Sin embargo, si el cambio en los parámetros es pequeño, esto no hace ninguna diferencia: la configuración de estado estacionario del sistema anterior puede verse como una perturbación de la configuración de estado estacionario del nuevo sistema, y ​​todo sigue como se indica arriba. (Solo asegúrese de usar los nuevos valores de$D$y$Y$al calcular los valores propios de$J$.)

La otra cosa es que esta teoría no es necesariamente muy precisa si la perturbación (o el cambio en los parámetros) es grande. Sin embargo, su sistema no es masivamente no lineal, por lo que esperaría que fuera una aproximación decente. Si eso le preocupa, probablemente lo mejor sea integrar numéricamente el sistema con algunos valores de parámetros diferentes y verificarlo.