¿Cuántas propiedades independientes puede tener un fotón?

Respuesta corta: el momento angular orbital (o vorticidad) de los fotones es parte de los grados de libertad espaciales. Por lo tanto , reemplazaría el grado de libertad de la cantidad de movimiento y no debería considerarse como un grado de libertad adicional.

Respuesta más larga: los fotones asociados con los operadores de creación y aniquilación que, en general, pueden representarse mediante:

donde el subíndice$s$representan el espín , que se manifiesta como la polarización de la luz, y${\bf k}$es el vector de propagación . (Aquí solo considero campos de propagación. Para campos virtuales también existiría la frecuencia angular$\omega$como un grado de libertad independiente.) El grado de libertad de espín se reduce a un espacio de Hilbert bidimensional debido a la invariancia de calibre. El vector de propagación es un vector tridimensional, que da tres espacios de Hilbert de dimensión infinita. Este último representa los grados de libertad espacio-temporales .

Además de los grados de libertad de espín y espacio-temporales, también se tiene el grado de libertad del número de partículas . Esto proviene del hecho de que uno puede tener estados con múltiples fotones que son mutuamente ortogonales.

Esto agota más o menos los diferentes grados de libertad que se pueden tener con los fotones. Todas las diferentes propiedades de los fotones están de algún modo "codificadas" en términos de estos grados de libertad.

Por ejemplo:

• La helicidad es parte del grado de libertad del espín y se produce porque no se puede medir el espín del fotón en su marco de reposo (porque no lo tiene). Como resultado, la única cantidad bien definida relacionada con el grado de libertad de espín es en realidad su helicidad.

• Los intervalos de tiempo surgen de dos pasos. En el primer paso, uno convierte los tres componentes del vector de propagación en dos componentes (transversales) más la frecuencia angular a través de la relación de dispersión de vacío.$c|{\bf k}|=\omega$. (También supone que elegimos una dirección de propagación particular, lo que a su vez puede implicar una aproximación paraxial). El siguiente paso es ir al dominio de Fourier inverso de la frecuencia angular, que es el tiempo .

• El momento angular orbital (OAM) se basa en una expansión modal particular para los dos grados de libertad espacial transversal. Estos dos grados de libertad espacial transversales pueden verse como el dominio de Fourier inverso de las dos componentes restantes del vector de propagación, después de la conversión a que se refiere el punto anterior. Uno puede representar estos dos grados espaciales de libertad en términos de cualquier expansión modal. Sin embargo, hay algunos modos especiales que son estados propios del operador de momento angular. Estos modos OAM incluyen los modos Laguerre-Gauss y los modos Bessel, cada uno formando una base ortogonal completa. Por alguna razón (que quizás esté más allá del alcance de esta pregunta), se hizo popular usar tales modos OAM en la óptica cuántica.

Entonces, ¿cómo se mediría la OAM de un fotón? Uno puede hacerlo con un proceso de dos pasos. Todos los modos OAM tienen una dependencia de fase azimutal dada por$\exp( i \ell \phi)$, dónde$\phi$como la coordenada azimutal y$\ell$es un número entero que representa el índice azimutal y que es proporcional a la OAM del modo. Primero, sería necesario eliminar esta fase helicoidal con un holograma o un modulador de luz espacial que tenga la fase conjugada. El siguiente paso es acoplar el resultado después de la modulación en una fibra monomodo. Dado que un modo con una fase helicoidal no trivial no puede acoplarse en una fibra, la luz que sí se acopla en la fibra monomodo debe tener el índice azimutal correcto antes del paso de modulación. Así podemos determinar el AOM del modo.

Si uno tiene un haz de luz clásico con un vórtice, puede observar el vórtice observando la interferencia entre este haz de vórtice y una onda plana (haz sin vórtice). El vórtice aparece como una franja bifurcada dentro del patrón de interferencia. Los vórtices de orden superior darían horquillas con múltiples puntas.

Para abordar el número real de grados de libertad (que aparentemente me perdí en la pregunta), los consideramos uno por uno:

• Polarización: esto es fácil, solo hay dos grados de libertad, lo que describe un espacio bidimensional. Este espacio está representado por la superficie de una esfera, que se llama esfera de Poincaré. Este es un conjunto conveniente de grados de libertad para usar en experimentos porque se manipulan fácilmente usando varios componentes de polarización.

• Número de partícula: aquí tenemos un número infinito contable, como lo indica la base de Fock. Sin embargo, es un conjunto de grados de libertad difícil de usar, porque uno necesita preparar estados cuánticos fotónicos. Sin embargo, es un campo de investigación vibrante en este momento y constantemente se inventan nuevos métodos para preparar dicho estado. Además, hay una ventaja adicional, porque cada fotón viene con un complemento completo de todos los demás grados de libertad.

• Espaciotemporal:aquí también tenemos un número infinito contable. Para ver esto, es necesario recordar que una base ortogonal completa válida para un conjunto debe tener sus elementos tomados de ese conjunto. La transformada de Fourier puede dar la impresión de que el número de grados de libertad es infinitamente infinito, pero los elementos básicos asociados con la transformada de Fourier son ondas planas, que no son normalizables y, por lo tanto, no son elementos del conjunto de funciones con Fourier bien definido. transforma Por lo tanto, necesitamos seleccionar una base con elementos que sean normalizables. En el contexto de un experimento real con haces ópticos paraxiales, y centrándose solo en los grados de libertad espaciales, los modos Laguerre-Gauss (LG) son un conjunto conveniente para usar (pero hay muchos otros que se pueden usar). Hay un número infinito contable de modos LG. Por lo tanto, un número infinito contable de grados de libertad. Se puede utilizar un argumento similar para los grados de libertad temporales. Sin embargo, esta es una cantidad teórica. En un experimento práctico, uno siempre tendría acceso a un número finito de estos debido a las limitaciones del experimento. Cualquier configuración óptica física tiene un producto de ancho de banda de espacio finito asociado, que determina el número de grados de libertad que pueden pasar a través del sistema. En el dominio temporal, el producto tiempo-ancho de banda juega un papel similar. Cualquier configuración óptica física tiene un producto de ancho de banda de espacio finito asociado, que determina el número de grados de libertad que pueden pasar a través del sistema. En el dominio temporal, el producto tiempo-ancho de banda juega un papel similar. Cualquier configuración óptica física tiene un producto de ancho de banda de espacio finito asociado, que determina el número de grados de libertad que pueden pasar a través del sistema. En el dominio temporal, el producto tiempo-ancho de banda juega un papel similar.

En resumen: las únicas propiedades que pueden tener los fotones son las asociadas al número de partículas, el espín y los grados de libertad espacio-temporales. Mientras que el espín tiene solo dos grados de libertad, los otros grados de libertad son (teóricamente) contablemente infinitos.

La función de onda del fotón tiene esencialmente un número infinito de grados de libertad. Prueba: la forma de un frente de onda que describe una función de onda fotónica puede describirse mediante polinomios de Zernike. Los términos son ortogonales: cambia la amplitud de uno y no afecta las amplitudes de los otros términos (aparte de la necesidad de normalizar la suma de todas las amplitudes). Prueba adicional: cada función de onda tiene un ancho de banda espectral no infinitesimal. Todos los espectros (un número infinito) que tienen ese ancho de banda son estados válidos del fotón. El número de términos de una transformada de Fourier utilizada para describir dicho espectro es infinito y los términos son ortogonales.

La interferencia en un interferómetro de doble rendija ilustra el hecho de que el "estado de posición" del fotón puede existir en superposición. La probabilidad relativa de que el fotón pase a través de cualquiera de las rendijas se puede medir bloqueando alternativamente cada rendija.

Se puede hacer lo mismo colocando una serie de agujeros de alfiler bloqueables sobre una hoja de material opaco que bloquea un haz y cubriendo/descubrindo los diferentes agujeros de alfiler mientras se mide lo que pasa. Cada agujero de alfiler representa un modo espacial ortogonal diferente. Al ajustar el momento de cubrir/descubrir, se pueden medir las estadísticas espaciotemporales de una serie de pulsos de luz (en principio).