Lo que quiero decir es que, con una masa central, las órbitas son relativamente simples, pero las órbitas alrededor de la galaxia son diferentes, en esencia, como la estrella orbita a través del halo de materia oscura, cuanto más se aleja del centro de la galaxia, mayor es el campo gravitatorio. , por lo que, si bien las órbitas tienden a ralentizarse a medida que la energía cinética se convierte en energía potencial, las estrellas orbitan efectivamente alrededor de más masa cuanto más lejos están del centro de la galaxia, lo que podría acelerarlas. La regla de áreas iguales sobre tiempos iguales parece que ya no se aplica.
Entonces, ignorando el movimiento hacia arriba y hacia abajo en relación con el plano de la galaxia, ¿hay una forma común para las órbitas galácticas? ¿Hay una fórmula? Creo que aún se aplicaría la excentricidad, pero no creo que las órbitas sean elipses, por lo que sería un tipo diferente de excentricidad. ¿Estas órbitas tenderían a circularizarse (en una nube de materia oscura ideal, ignorando las perturbaciones? Obviamente, las perturbaciones conducirían, en un sentido práctico, a órbitas impredecibles, no a fórmulas ordenadas y ordenadas. Deduzco de un programa que capté en el canal científico que el El campo magnético de la Vía Láctea también juega un papel en la formación de sus brazos espirales, pero estoy preguntando en un sentido matemático ideal, qué forma tendrían las órbitas a través de una galaxia, desde un punto de vista 2D, ignorando el movimiento hacia arriba y hacia abajo.
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Se me ocurrió que la pregunta podría ser formulada de manera más simple por un agujero negro en efecto "orbitando" a través de un planeta o incluso un neutrino de baja velocidad (si es que hay neutrinos de baja velocidad). La órbita interior de un planeta es bastante diferente a la órbita de Kepler, porque la gravedad aumenta a medida que el objeto se aleja del centro. La órbita general aún podría ser algo así como una elipse, pero las leyes para tal órbita serían diferentes, vería la aceleración más alta en los puntos más alejados del centro, aunque probablemente aún vería la velocidad más alta en el punto más cercano al centro.
De todos modos, tengo curiosidad sobre todo si se ha resuelto esa forma y cómo se ve.
Esta es una pregunta interesante y, por lo general, las preguntas interesantes no pueden responderse fácilmente con ningún conocimiento actual, pero esta puede responderse hasta cierto punto. Voy a repasar los conceptos básicos de la teoría orbital y describir cómo se pueden aplicar a las galaxias y en qué se diferencia de los sistemas keplerianos. Debe tener una comprensión razonable de la física newtoniana (después de que todas las órbitas se derivan precisamente de las leyes de Newton) y un sólido conocimiento de las matemáticas. Si no tiene estas cosas, salte al final de cada sección donde intentaré resumir los puntos importantes detrás de las matemáticas.
Una nota rápida sobre la notación matemática que usaré. Un punto sobre un símbolo indica una derivada temporal (p. ej., ) y los símbolos en negrita y sin cursiva son cantidades vectoriales (p. ej., ). Vamos a ir al grano.
Considere una masa como alguna posición y moviéndose con un movimiento descrito por . Esta masa experimenta una fuerza que es sólo una función de la distancia radial, , desde el centro del sistema de coordenadas. El objetivo aquí es determinar la ecuación de movimiento que puede describir la órbita de la masa debido a esta fuerza. Esta ecuación se puede usar para resolver . Por la ley de Newton, la ecuación de movimiento se puede definir inicialmente como
Tenga en cuenta que en este caso es simplemente la componente radial de y es el ángulo acimutal del cuerpo en un sistema de coordenadas esféricas. Te dejaré a ti determinar cómo descomponer la aceleración en los dos componentes anteriores, bajo el sistema de coordenadas apropiado. Intentemos eliminar nuestro dependencia de modo que sólo tenemos una función de . Esto se puede lograr usando la conservación del momento angular. El momento angular por unidad de masa está dado por de modo que . Esto da
Esta es ahora una ecuación diferencial que nos permite resolver para , pero queremos así que tenemos que hacer alguna conversión. Vamos a volver a parametrizar definiendo (la razón se aclarará en un momento) y determinando en términos de y .
Nótese la sustitución de . Ahora diferencie de nuevo para determinar .
Poniendo esto en nuestra expresión para la ecuación de movimiento y haciendo la transformación que finalmente da
Escribiendo en una forma más conveniente finalmente llegamos a
Recuerda eso, es la masa del cuerpo, , es el momento angular por unidad de masa, es una fuerza puramente radial que actúa sobre el cuerpo, y y son las posiciones de coordenadas radiales y acimutales de la masa.
Remate : El resultado final aquí es una ecuación general de movimiento para un cuerpo que orbita de acuerdo con alguna fuerza arbitraria. Esto podría ser gravedad, electromagnético, una fuerza de resorte o cualquier otra cosa que decidamos. Se deriva a propósito bajo suposiciones generales y no constrictivas y, con suerte, puede ver que se puede usar para comprender el movimiento orbital de una estrella que orbita en una galaxia de disco. El objetivo con esta ecuación debe ser conectar tu fuerza (sea lo que sea) y resolver para . A partir de ahí es fácil determinar .
Antes de comenzar a observar el movimiento orbital en una galaxia, veamos el movimiento Kepleriano estándar para que tengamos algo con lo que comparar. El movimiento kepleriano se deriva de asumir nuestra masa está orbitando una sola masa puntual y bajo la influencia de la simple gravedad. En ese caso, podemos escribir nuestra fuerza como y por lo tanto , dónde es una constante, definida aquí por simplicidad matemática. Tenga en cuenta que es la constante gravitacional. La ecuación orbital general, bajo esta fuerza, ahora se convierte en
Esta es una ecuación diferencial estándar no homogénea de segundo orden con una función forzada constante. Si conoce su Diff EQ, debería conocer la solución casi de inmediato.
En esta ecuación, es una constante desconocida, y representa el ángulo inicial de la órbita, que arbitrariamente podemos elegir que sea cero. Nuestro objetivo final es conseguir así que hagamos eso. Sin embargo, voy a hacer algunos pasos en uno y dejaré que usted resuelva las matemáticas intermedias. voy a llenar para y defina el momento angular como dónde es la masa reducida de nuestro sistema . También diré, sin prueba, que dónde es la excentricidad de la órbita.
Remate : hemos encontrado una ecuación final que representa el movimiento orbital de una masa bajo la influencia de la gravedad debido a una masa puntual. . Si sabes mucho, verás que esta ecuación describe con precisión las secciones cónicas, dependiendo del valor de . Si , obtienes un movimiento circular (ya que se convierte en una constante). Si , obtienes un movimiento elíptico, es movimiento parabólico y es hiperbólico.
Como era de esperar, el movimiento kepleriano (es decir, que tiene una fuerza central tal que ) resultó en cónicas, que es precisamente la primera ley de Kepler. La segunda y tercera leyes de Kepler se derivan más o menos de los mismos supuestos. Es lógico, entonces, que cualquier sistema donde no sigue ninguna de las leyes de Kepler. Las órbitas no son cónicas perfectas (p. ej., elipses, círculos, etc.), no barren áreas iguales en tiempos iguales y el estándar ciertamente no se aplica.
Su pregunta describe correctamente la situación de las estrellas (o cualquier cosa realmente) que orbitan en una galaxia. Las estrellas no están orbitando masas centrales, como puntos. Están incrustados dentro de la materia oscura y bariónica que comprende la galaxia y están orbitando a través de ella. Es un concepto bien conocido en física que las distribuciones de masa esféricamente simétricas no tienen una atracción gravitacional neta sobre los objetos interiores a esa distribución, lo que significa que para las estrellas en una galaxia, la masa que afecta su órbita es la masa interior a su radio. ¡Si ese radio cambia, la masa cambia!
La fuerza central sobre nuestra estrella seguirá siendo la gravedad, pero la masa que actúa sobre ella será toda la masa interior hasta cierto radio, indicado por . Podemos ver eso . Si queremos determinar la fuerza que actúa sobre nuestra estrella (y, por lo tanto, la órbita exacta, a través de la ecuación diferencial anterior), primero debemos averiguar cuál es la masa interior de algún radio. Esto se puede lograr usando la ecuación de continuidad de masa .
Esencialmente, puede averiguar todo el interior de la masa para integrando toda la densidad de masa en función de . Aquí, por supuesto, necesitas una buena ecuación para . Un perfil de densidad simple, pero físicamente poco realista, es la esfera isotérmica singular (SIS), mientras que una ecuación más realista, pero matemáticamente compleja, podría ser el perfil NFW o el perfil Einasto .
Ahora he presentado todos los pasos que necesitas para descubrir el movimiento orbital en una galaxia, pero tengo que decir que no es bonito. Sin embargo, podemos ver parte del caso más simple, el del SIS.
Esfera isotérmica única
Para la esfera isotérmica singular, tienes que , dónde es la velocidad de rotación de su estrella. Este perfil se basa en un hecho crucial de las galaxias de disco. ¡su perfil de rotación es plano! Esto fue bien establecido, por ejemplo, por Ruben et al. 1978 . He reproducido una figura de este documento a continuación que muestra la curva de rotación de varias galaxias. El punto importante aquí es que esto muestra es constante y no depende del radio! (Suponiendo que no estemos cerca del bulto o centro galáctico. Esa es una bestia completamente diferente).
Con esta pieza crucial de información, podemos resolver para integrando (que te dejo a ti). el resultado es que
Esto significa que su fuerza está dada por
Puedes ver aquí que a diferencia del caso Kepleriano, nuestra fuerza es proporcional a en vez de . Puede realizar este proceso con otros perfiles de densidad (como NFW o Einasto I mencionados anteriormente), pero obtendrá el mismo resultado.
Si está tan inclinado, puede optar por conectar esto a la ecuación de movimiento orbital anterior y resolverlo, pero ahora está trabajando con una ecuación diferencial no lineal y las cosas pueden complicarse rápidamente.
Punchline : no estoy seguro de si esto realmente responde a su pregunta o no. Te he conducido parcialmente por la madriguera del conejo, pero espero que puedas apreciar lo complejo que se vuelve rápidamente. Todo el trabajo anterior estaba utilizando amplias suposiciones y simplificaciones. Supongo que la respuesta corta a todo esto es que las estrellas orbitan galaxias en una órbita compleja pero cerrada que no se describe fácilmente con precisión (incluso para nuestra propia galaxia) a través de ecuaciones calculables. Podemos aproximarnos y hacer nuestro mejor esfuerzo para trabajar con las matemáticas, pero al final es una aproximación. Sin embargo, en las aproximaciones más crudas, también puede considerar que una órbita como nuestra estrella es circular y terminar con eso.
céfiro
señor cumferencia