¿Cuál es la ecuación del 'factor de escala' para un universo dominado por materia oscura?

Las ecuaciones de Friedmann se pueden resolver exactamente en presencia de un fluido perfecto con ecuación de estado

$${\displaystyle p=w\rho c^{2}} \qquad p=w\rho c^2$$

dónde${\displaystyle p}$es la presión,${\displaystyle \rho }$es la densidad de masa del fluido en el marco de movimiento conjunto y$w$es una constante.

En caso espacialmente plano ($k = 0$), la solución para el factor de escala es

$${\displaystyle a(t)=a_{0}\,t^{\frac {2}{3(w+1)}}}$$ dónde${\displaystyle a_{0}}$es una constante de integración que se fija mediante la elección de las condiciones iniciales. Esta familia de soluciones etiquetadas por${\displaystyle w}$es extremadamente importante para la cosmología. P.ej${\displaystyle w=0}$describe un universo dominado por materia, donde la presión es insignificante con respecto a la densidad de masa. De la solución genérica se ve fácilmente que en un universo dominado por la materia el factor de escala es como

$${\displaystyle a(t)\propto t^{2/3}}$$ dominado por la materia Otro ejemplo importante es el caso de un universo dominado por la radiación, es decir, cuando${\displaystyle w=1/3}$. Esto lleva a

$${\displaystyle a(t)\propto t^{1/2}}$$ radiación dominada Nótese que esta solución no es válida para la dominación de la constante cosmológica, que corresponde a una${\displaystyle w=-1}$. En este caso la densidad de energía es constante y el factor de escala crece exponencialmente.

Entonces, '$a$' es proporcional a$t^{2/3}$o$t^{1/2}$para universos dominados por materia o radiación, respectivamente... Pero si '$w$' es negativo-uno entonces '$a$' es proporcional a$t^t$? Quiero decir, ¿cuál es el exponente en esta fase de 'crecimiento exponencial' donde el '$w$'constante' es$-1$?