¿Cuál es la corriente de un capacitor cuando la derivada del voltaje no está definida?

Si acaba de dar la señal de voltaje con

Lo que aprendemos teóricamente sobre la corriente de la definición de señal de voltaje anterior es que

En la práctica, si amplía la escala de tiempo del osciloscopio, verá que la corriente no salta debido a las inductancias parásitas muy pequeñas en el circuito. Por lo tanto, la señal del voltaje del capacitor no tendrá ángulos agudos como sugiere la forma de onda dada.

Pero, en muchos casos, esto no es relevante para el cálculo en cuestión y uno simplemente ignora los redondeos de la señal de voltaje para simplificar el cálculo.

La aproximación y la abstracción son dos elementos importantes de la ingeniería.

Si realmente necesita un valor definido para la corriente$i(t)$en$t=2$para el cálculo de la computadora, puede acordar señales continuas a la izquierda o a la derecha.

El formalismo de los espacios de Sobolev y las derivadas débiles maneja este tipo de abstracción. Considera que todas las señales son equivalentes siempre que solo difieran en un conjunto de tiempo de medida cero. Por ejemplo, dos señales que solo difieren en un conjunto finito de puntos de tiempo son equivalentes. Esto tiene en cuenta que cada medición de una señal necesita un intervalo de tiempo finito.

En la figura (a), el voltaje es continuo pero la derivada del tiempo no lo es; la corriente del condensador cambiaría de forma discontinua de signo positivo a negativo.

En la figura (b), sin embargo, el voltaje es discontinuo. Por lo general, se dice que el voltaje a través de un capacitor ideal es continuo ya que, para que exista la corriente, debe existir la derivada del tiempo del voltaje.

Sin embargo, en el contexto de las distribuciones , entonces, por ejemplo, el voltaje a través del capacitor ideal puede ser el escalón unitario$u(t)$lo que implica un impulso de corriente

Matemáticamente, esto es sonido. Físicamente, esto es absurdo ya que los supuestos en los que se basa este resultado no son válidos.

La aproximación de la teoría del circuito ideal se mantiene sólo cuando podemos ignorar los efectos electromagnéticos, es decir, suponemos corrientes y voltajes que cambian lentamente de manera apropiada, de modo que, por ejemplo, se puede ignorar la autoinductancia.

Una tasa de cambio 'infinita' violaría 'infinitamente' esa suposición, es decir, tendríamos que tener en cuenta la radiación electromagnética que implica agregar elementos de circuito 'parásitos' a la ecuación.

Bueno, si observa un circuito práctico que produce ese gráfico, debe haber un cambio drástico repentino en el circuito en ese instante de tiempo para hacer que el capacitor cambie abruptamente de modo de carga a descarga; muy posiblemente se encendió un interruptor/interruptores encendido/apagado colocando efectivamente el condensador en un circuito diferente. Si está haciendo la pregunta, ¿qué le sucede a la corriente mientras se enciende/apaga ese interruptor? El análisis de eso sería un problema más complejo que involucra ecuaciones no tan simples como las leyes de Kirchoff. La corriente estaría en una fase rápidamente transitoria. Por lo tanto, el valor 'indefinido' de la corriente en ese instante de tiempo en particular solo refleja la falla del modelo matemático utilizado para producir esos gráficos, que en este caso sería Kirchoff. s leyes y otras ecuaciones asociadas para el condensador. Simplemente significa que ese modelo es inadecuado para calcular la corriente en ese instante. En realidad, no significa que la corriente en sí no tenga valor, la corriente, al ser una cantidad física, tendría un valor distinto de cero o cero en cada instante de tiempo.

Nunca hay confusión o contradicción porque, a diferencia de la carga, la corriente no tiene por qué ser continua, es decir$i(t-0) = Cv'(t-0)$y$i(t+0)=Cv'(t+0)$. Dado que el flujo del tiempo es unidireccional, desde$-$a$+$, la derivada temporal del voltaje está bien definida para significar$f'(t-0)$y$f'(t+0)$.