¿Cuál es el rango del ángulo cenital entre los vectores de velocidad y posición?

Respuesta parcial:

¡Lo que Braeunig llama gamma o ángulo cenital es en realidad beta!

...y γ es el ángulo entre los vectores de posición y velocidad, llamado ángulo cenital (ver Figura 4.7) )

Según la respuesta de @TomSpilker

Este es un problema que ha afectado a grupos de personas muy conocedoras de la dinámica orbital pero que aprendieron usando diferentes libros de texto: ¡ hay dos definiciones diferentes de "ángulo de trayectoria de vuelo"!

Además de$\gamma$, el ángulo entre la dirección tangencial y el vector velocidad, hay$\beta$, el ángulo entre la dirección radial y el vector velocidad. La gente a menudo dice "ángulo de trayectoria de vuelo" sin decir qué definición están usando . ¡Confuso! (Acabo de notar que el diagrama en la respuesta de Julio también muestra$\beta$)

si trabajas con$\beta$en lugar de$\gamma$,$\beta$es dado por

$$\arccos\left(\frac{\mathbf{r \centerdot v}}{|\mathbf{r}| \ |\mathbf{v}|} \right) \tag{1}$$

Así que la gamma de Braeunig es la beta de la NASA. Es positivo de peri a apo y negativo de apo a peri. Como no soy lo suficientemente inteligente para hacerlo con matemáticas, lo haré con Python.

Estoy haciendo esto en unidades adimensionales, por lo que el período es 2π y el semieje mayor es la unidad. Puede ver el comportamiento de beta en una órbita, movimiento positivo hacia la apoapsis y luego movimiento negativo hacia el periapsis.

def deriv (X, t):
    x, v = X.reshape(2, -1)
    acc = -x * ((x**2).sum())**-1.5
    return np.hstack((v, acc))

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.integrate import odeint as ODEint

halfpi, pi, twopi = [f*np.pi for f in (0.5, 1, 2)]
degs, rads = 180/pi, pi/180

time = np.linspace(0, twopi, 361)

r0 = 1.8
v0 = np.sqrt(2./r0 - 1)  # vis-viva

X0 = np.hstack([r0, 0, 0, v0])

answer, info = ODEint(deriv, X0, time, full_output=True)

x,    v      = answer.T.reshape(2, 2, -1)
rn = x/np.sqrt((x**2).sum(axis=0))
vn = v/np.sqrt((v**2).sum(axis=0))

x, y, vx, vy = answer.T

beta = np.arccos((rn*vn).sum(axis=0))

if True:
    plt.figure()
    plt.plot(x, y)
    plt.plot([0], [0], 'ok', markersize=8)
    x0, y0 = 0.5*(x.min() + x.max()), 0.5*(y.min() + y.max())
    hwx, hwy = (np.abs(x-x0)).max(), (np.abs(y-y0)).max()
    hw = 1.05*max(hwx, hwy)
    plt.xlim(x0-hw, x0+hw)
    plt.ylim(y0-hw, y0+hw)
    plt.show()
    
if True:
    plt.figure()
    plt.subplot(3, 1, 1)
    plt.plot(time, x)
    plt.plot(time, y)
    plt.plot(time, np.zeros_like(time), '-k')
    plt.title('x and y vs time')
    plt.subplot(3, 1, 2)
    plt.plot(time, vx)
    plt.plot(time, vy)
    plt.plot(time, np.zeros_like(time), '-k')
    plt.title('vx and vy vs time')
    plt.subplot(3, 1, 3)
    plt.plot(time, beta)
    plt.plot(time, halfpi*np.ones_like(time), '-k')
    plt.title('beta vs time')
    plt.show()