¿Cómo calcular el movimiento completo de la anomalía verdadera en una órbita elíptica?

El verdadero movimiento de anomalía, según tengo entendido, no es constante en una órbita elíptica. La tasa de cambio de la anomalía verdadera no es constante como en el caso de las órbitas circulares, en cuyo caso la anomalía verdadera es igual a la anomalía media, y la tasa de anomalía verdadera puede tomarse como la tasa angular en la órbita, y la tasa de tasa de anomalía verdadera se puede tomar como cero. Sin embargo, para órbitas elípticas, debería haber una tasa no constante de anomalía verdadera y alguna tasa de tasa de anomalía verdadera. ¿Hay alguna derivación de la fórmula a la que pueda referirme para comprender el movimiento con mayor claridad? Tengo la posición y la velocidad como vectores de estado cartesianos en la órbita en el marco de coordenadas ECI.

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Comience con la relación entre anomalía verdadera y excéntrica. broncearse ⁡ θ 2 = 1 + mi 1 − mi broncearse ⁡ mi 2 , diferencie el tiempo de escritura y limpie las cosas. Debería obtener una expresión bastante simple que exprese θ ˙ como una función de mi ˙ , mi , y porque ⁡ θ . A continuación, de la ley de Kepler, METRO = mi − mi − s i norte mi , debería obtener una expresión bastante simple que exprese mi ˙ como una función de METRO , mi , y porque ⁡ mi . Luego, combina todo usando la relación porque ⁡ mi = mi + porque ⁡ θ 1 + mi porque ⁡ θ . Debería obtener una expresión bastante simple para θ ˙ .
@DavidHammen. Olvidé mencionar que tengo los vectores de estado cartesianos de la órbita. Sé cómo convertir a elementos de Kepler y su respuesta fue útil. Por favor, dígame también cómo debo obtener la aceleración angular instantánea. ¿Debo tomar una aproximación derivada de primer orden, o hay alguna solución analítica?

Respuestas (1)

La tasa de cambio de la anomalía verdadera F es

d F d t = F ˙ = h r 2 ,

dónde h = ‖ r → × v → ‖ es la magnitud del momento angular y r es solo la distancia radial desde el centro del cuerpo principal. Tenga en cuenta que esta es en realidad la segunda ley del movimiento planetario de Kepler.

Prueba:

Solo nos interesa el movimiento en el plano orbital, por lo tanto, el movimiento bidimensional. Los vectores de posición y velocidad en el plano orbital se escriben en coordenadas polares giratorias como

r → = r i ^ r
v → = r ˙ i ^ r + r d F d t i ^ F ,

dónde i → r es el vector de radio unitario y i → F es el vector unitario ortogonal a i → r y apuntando en la misma dirección de la velocidad, i → F = ( 0 , 0 , 1 ) × i ^ r . La evaluación del vector de momento angular da

h → = r → × v → = r i ^ r × ( r ˙ i ^ r + r d F d t i ^ F ) = r 2 d F d t i ^ h ,
dónde i ^ h = ( 0 , 0 , 1 ) . ◼

Aceleración angular

Si desea obtener la tasa de cambio de la tasa de cambio de la anomalía verdadera, es decir, la aceleración angular, diferencie la primera ecuación (suponiendo movimiento kepleriano)

d 2 F d t 2 = − 2 h r 3 d r d t = − 2 h r 3 i ^ r ⋅ v → .

Todas estas derivaciones están contenidas en los capítulos 2 y 3 de RH Battin, "An Introduction to the Mathematics and Methods of Astrodynamics", 1999.

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