¿Cuál es el campo magnético de una corriente que se mueve radialmente?

Como no nos ha dado ninguna información sobre la distribución inicial de la carga dentro de la nube, supondré aquí que la distribución es uniforme (específicamente,$\rho(r)=\rho_0$para$r<r_0$y$\rho(r)=0$de lo contrario). Es importante destacar que eso significa que el problema tiene simetría esférica.

Dado que la nube es esféricamente simétrica, el campo eléctrico siempre debe estar dirigido radialmente (ya que un campo eléctrico no radial se vería diferente bajo rotación, aunque la distribución de carga subyacente se vería exactamente igual; alternativamente, dado que cada contribución tangencial a la campo eléctrico de un lado de la esfera se cancela exactamente por una contribución igual del otro lado).

Dado que el campo eléctrico siempre está dirigido radialmente, todas las cargas en la nube se mueven radialmente hacia afuera y, por lo tanto, la densidad de corriente también apunta completamente en la dirección radial.

Dado que la densidad de corriente y el campo eléctrico están completamente dirigidos radialmente hacia afuera, la distribución, incluso después de expandirse, aún tiene simetría esférica. Esto significa que el campo magnético también debe estar dirigido radialmente, porque cualquier otra configuración de campo haría que el campo magnético se viera diferente bajo rotación, mientras que todo lo que lo genera se ve exactamente igual.

Ahora, usamos la Ley de Gauss para el Magnetismo:

donde la integral se toma sobre una superficie cerrada. Elegimos una esfera sobre el origen, de cualquier radio arbitrario. Dado que el problema es esféricamente simétrico, la magnitud de$\mathbf{B}$es constante en cualquier esfera sobre el origen y, dado que está dirigida radialmente, siempre es paralela/antiparalela (no importa cuál) al vector del área dirigida$d\mathbf{A}$. Esto significa que

dónde$(-)^?$se refiere a la posible presencia de un signo negativo. Desde$r$no es necesariamente cero, debe ser cierto que$B$es cero, por lo que el campo magnético es cero en todas partes .

Ahora, si comienzas con una distribución inicial asimétrica, sucederán cosas muy, muy diferentes (y complicadas), ya que pierdes todas las buenas restricciones sobre el comportamiento que garantiza la simetría esférica. El comportamiento específico probablemente se explora mejor mediante una simulación, ya que, para una distribución inicial arbitraria, es muy probable que obtenga un conjunto de PDE que de todos modos no tienen una solución analítica.

Un problema con la respuesta anterior es que la forma diferencial de la ley de Ampere dice que la curvatura del campo magnético tiene que ser proporcional a la densidad de corriente en cada punto del espacio. Por lo tanto, si la densidad de corriente es radial y, evidentemente, distinta de cero, entonces tiene que haber un campo magnético distinto de cero alrededor. Creo que la forma de salir de este enigma es darse cuenta de que la conservación de la carga exige que la corriente que fluye hacia el exterior tenga que venir de alguna parte. Por ejemplo, podría tener un cable delgado que lleve la corriente al centro desde muy lejos, y luego, desde ese centro, la corriente podría fluir hacia afuera en forma radial. Pero claramente ese cable delgado está generando un campo magnético en todo el espacio, y también rompe la simetría esférica, destruyendo así el argumento de simetría anterior. De una manera u otra, se obedecerá la forma diferencial de la ley de Ampere. Si decide mantener la simetría esférica y traer la corriente simétricamente desde lejos, y luego dejar que fluya de regreso con simetría esférica, entonces la densidad de corriente neta es cero en todas partes y, de hecho, en ese caso el campo magnético será cero .