Creación de partículas (con partículas objetivo estacionarias)

Considere el siguiente proceso:

$$e^{-}+e^{+}\rightarrow X+\bar{X}$$ en el caso de que el positrón sea la partícula objetivo en reposo .

Si el electrón entrante tiene impulso$\mathbf{p}_{e}$, entonces por conservación de la cantidad de movimiento, se sigue que

$$\mathbf{p}_{e}=\mathbf{p}_{1}+\mathbf{p}_{2}$$ dónde $\mathbf{p}_{1}$y $\mathbf{p}_{2}$son los momentos de las dos partículas creadas en esta colisión.

¿Por qué es el caso de que

$$\lvert\mathbf{p}_{1}+\mathbf{p}_{2}\rvert =2p_{_{X}}\cos\theta\;?$$ Ingenuamente, hubiera pensado que sería $$\lvert\mathbf{p}_{1}+\mathbf{p}_{2}\rvert =\sqrt{\lvert\mathbf{p}_{1}\rvert^{2}+\lvert\mathbf{p}_{2}\rvert^{2}+2\lvert\mathbf{p}_{1}\rvert\lvert\mathbf{p}_{2}\rvert\cos\theta}$$

¿Es correcto decir que el caso umbral es cuando$\theta =0$? ¿Por qué sucede que si la energía es mayor que la energía umbral, las partículas emitidas se propagan en ángulos relativos a la dirección de movimiento de la partícula entrante, mientras que en el caso umbral se propagan en la misma dirección?

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Editar :

Creo que veo parcialmente lo que me estoy perdiendo. Si los ángulos a los que se emiten las dos partículas creadas, en relación con la dirección de movimiento del positrón, son iguales, entonces sus 3 momentos vienen dados por

$$\mathbf{p}_{1}=\left(p\cos\theta ,p\sin\theta\right)\\ \mathbf{p}_{2}=\left(p'\cos\theta ,-p'\sin\theta\right)$$ dónde $\theta$es el ángulo relativo a la dirección de movimiento del positrón.

Como tal, los componentes del momento a lo largo de la dirección definida por la dirección de movimiento del positrón original son$p_{1}=p\cos\theta$y$p_{2}=p'\cos\theta$y así la conservación del momento (lineal) requiere que

$$p_{e}=p\cos\theta +p'\cos\theta$$ Además, la conservación del momento lineal a lo largo de la dirección perpendicular a la del movimiento del positrón requiere que $$p\sin\theta -p'\sin\theta =0\quad\Rightarrow\quad p=p'$$ y entonces $$p_{e}=2p\cos\theta$$

Todavía no estoy seguro de por qué las partículas se producen en ángulos relativos a la dirección de movimiento del positrón. ¿Es esto solo porque, en general, no se producirán simplemente de tal manera que se propaguen en la misma dirección que la partícula inicial?