Corriente a través de un circuito con una configuración de 8 resistencias

La siguiente es una pregunta de un examen GRE de física de práctica (que se encuentra en línea en el sitio web de ETS).

El circuito que se muestra en la figura consta de ocho resistores, cada uno con resistencia R , y una batería con voltaje terminal V y resistencia interna despreciable. ¿Cuál es la corriente que fluye a través de la batería?

Esta es la figura en cuestión:

resistencias

En caso de que la figura no cargue, aquí está el problema de ETS: https://www.ets.org/s/gre/pdf/practice_book_physics.pdf , página 54, problema 68.

Dado que esta es una pregunta GRE, pensé que había un enfoque más corto que una fuerza bruta, la Ley de voltaje de Kirchoff en cada bucle. He estado tratando de averiguar cuál sería una solución más simple al reducir las resistencias en paralelo/serie, que actualmente no hay ninguna que pueda reducirse de esa manera. Luego probé una conversión triángulo-estrella, donde básicamente reduje cada cuadrado cerrado en el diagrama (cada cuadrado era esencialmente un triángulo porque cada uno tenía un cable sin resistencia en uno de los lados) pero eso tampoco se prestaba para paralelo /reducción en serie. No pude encontrar otro enfoque después de eso.

La respuesta correcta es 3/2**V/R*, y una solución abreviada que vi que alguien puso en línea ( http://physicsworks.files.wordpress.com/2012/09/gr0877_solutions.pdf , problema 68, si estoy interesado) dijo que tratara el problema como 3 resistencias 2 R separadas en paralelo, pero no estoy seguro de cómo funciona eso, porque todavía hay dos resistencias horizontales. ¿Podría alguien explicarme por qué este enfoque del problema es correcto o un enfoque alternativo al problema? ¡Gracias!

Vota para reabrir. Era una buena pregunta para empezar, ya que preguntaba por qué podemos pretender que esas dos resistencias no existen. En todo caso, pedirle al OP que muestre más esfuerzo y describa los enfoques que no funcionan es una distracción del problema central aquí.
Yo (el OP) no fui quien etiquetó esto como tarea, fue una edición que realizó otra persona. ¿Hay alguna forma de vetar las ediciones de otros?
Hola Josué. Veo que ya has descubierto cómo editar una publicación. Si aún no lo ha hecho, tómese un minuto para leer la definición de cuándo usar la etiqueta de tarea y la política de Phys.SE para problemas similares a la tarea.
@Qmechanic, entonces, ¿fueron mis ediciones suficientes para hacer que mi pregunta fuera lo que debería ser? ¿Y también debería restaurar la etiqueta de tarea porque estoy tratando de entender el proceso en lugar de la respuesta a este problema?
@Joshua: Sí, la etiqueta de tarea se aplica a esta pregunta (v4).

Respuestas (3)

El voltaje a través de cualquiera de las resistencias horizontales es cero, por lo que se pueden eliminar del circuito sin cambiar la solución.

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Esto se ve más fácilmente simplemente quitando las dos resistencias horizontales y luego está claro que los nodos a los que se conectan las resistencias horizontales tienen el mismo voltaje. Por lo tanto, según la ley de Ohm, no hay corriente a través de ninguno de los resistores horizontales ya que no hay voltaje en ninguno de los resistores.

En otras palabras, no importa si las resistencias horizontales están allí o no, por lo que se pueden quitar sin cambiar la solución.

Entonces te quedan 3 caminos idénticos con resistencia 2R cada uno.

Por supuesto, en un circuito real , las resistencias reales nunca serán idénticas, por lo que esta solución ideal es solo una aproximación.

¿Cómo puedo estar seguro de que eliminar las resistencias de esta manera es un movimiento válido y en realidad no cambia la situación en cuestión antes de que la juzguemos?
@Joshua, hay una simetría en el circuito que sugiere este movimiento. Si "voltea" la red de resistencias de izquierda a derecha, aparece sin cambios. Esto implica que los voltajes del nodo "externo" de las resistencias horizontales deben ser iguales, etc. Consulte, por ejemplo: physics.stackexchange.com/q/67310
@Joshua Solo una nota al margen, incluso podrían estar en cortocircuito (su R = 0), por lo que tiene tres R en paralelo con el total de R / 3, y luego nuevamente (en serie con ellos) tres R en paralelo, total R /3. Esto lleva a la suma de 2/3 R de la resistencia total.
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Además de la elegante solución de Alfred Centauri, hay una manera de usar la transformación triángulo-estrella para resolver el problema. Esto incluye transformar las dos estrellas, cada una compuesta por dos resistencias exteriores verticales y una horizontal adyacente, en un triángulo. Siempre es útil saber esto porque la simetría podría no estar presente.

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Los triángulos resultantes se dibujan en rojo y azul, y el triángulo de resistencias se obtiene de la estrella que encierra. Todas las resistencias resultantes tienen el mismo valor.

R ′ = R R + R R + R R R = 3 R

Después de esto, es sencillo obtener la resistencia efectiva

1 R mi F F = 1 3 R + 1 3 R + 1 2 ⋅ 1 1 3 R + 1 3 R + 1 R

que sale como R mi F F = 2 3 R para que la corriente sea 3 V / 2 R .

Para todos aquellos que tienen problemas para decidir qué lados del triángulo (delta) combinar y tienen preguntas como estas: ¿Cómo sabes (después de tener 2 triángulos o "deltas", en este caso, en lugar de tus redes T) cómo colapsar los triángulos en el resto del circuito para que parezca un circuito ordinario en serie y/o en paralelo?

La idea clave parece ser que primero debes colapsar los triángulos rectángulos. Hacer cualquier otra cosa parece ponerse en problemas al calcular mal la resistencia equivalente.

La idea detrás de la primera es que si combinas la hipotenusa y cualquiera de los otros lados, puedes decir que los dos están en paralelo. La idea es que si combinas un lado opuesto y uno adyacente, puedes decir que los dos están en serie.

Entonces, las resistencias de los brazos delta de los triángulos que reemplazaron las redes en T... todas son 3R. Las 2 resistencias restantes que no se convierten en triángulos son 1R.

A medida que vuelve a dibujar la geometría de su problema después de simplificar triángulos en unos 4 pasos, debería tener muchos cálculos paralelos equivalentes. Y solo obtuve 1 cálculo de resistencia equivalente que fue en serie. Al final, debe terminar con Req = 6R/9. Y I se calcula fácilmente con V=IR.

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