Confusión sobre la fuerza reactiva de un cohete.

Estoy confundido acerca de la ecuación que describe la fuerza reactiva de un cohete. Leí de esta fuente esta ecuación:

donde M es la masa del cohete, u es la velocidad de los gases de escape en un marco de referencia inercial y v es la velocidad del cohete. Y después de tomar el límite como$\Delta t$va a cero se convierte en:

mi pregunta es como es$u$aún$u$después de tomar el límite. ¿Significa eso que parte del gas con masa$dm$acelerado instantáneamente a esa velocidad?

También al calcular el empuje del motor.$F=q C$($q$es la tasa de cambio de la masa y C es la velocidad de escape del gas relativa al cohete) tomamos la velocidad al final de la tobera. ¿Pero no es el momento en que esa pequeña parte de gas se separó del cohete (ya no está "conectada" con el cohete, es libre de moverse hacia afuera) el momento en que entró en la cámara de combustión? ¿No debería ser la velocidad u?

ACTUALIZAR:

Creo que hice algunos progresos con las ecuaciones. Sería bueno si alguien pudiera confirmar eso o señalar el error. Si consideramos el cohete más el combustible en su interior como un cuerpo de masa$M$(no como en el caso anterior) su centro de masa se mueve con la velocidad$\vec{v_{cm}}$en alguna instancia de tiempo. Todavía no nos importa cómo se mueve el combustible dentro del cohete, solo necesitamos la velocidad del centro de masa del cohete y el combustible dentro juntos. Después de algún intervalo de tiempo$\Delta t$. El cohete con el combustible dentro tiene masa.$M-\Delta M$y velocidad$\vec{v_{cm}}+\Delta \vec{v_{cm}}$. También hay parte de escape con masa$\Delta M$y velocidad$\vec{v_{ex}}$. Después de aplicar la ley de conservación de la cantidad de movimiento y tomar el límite como$\Delta t \rightarrow 0$se puede concluir que:

$$\begin{equation} M \vec{a_{cm}}=-\dot M \vec u, \end{equation}$$ dónde$\vec u$es la velocidad de escape relativa al cohete más el combustible. Ahora,$a_{cm}$se puede expresar como: $$\begin{equation} a_{cm}=\frac{1}{M}(m_r \vec{a_r}+m_f \vec{a_f}), \end{equation}$$ dónde$m_r$es la masa del cohete y$m_f$es la masa de combustible dentro del cohete. Aceleración$\vec{a_f}$es igual a$\vec{a_r}+\vec{a_{fr}}$, dónde$\vec{a_{fr}}$es la aceleración del combustible dentro del cohete en relación con el cohete. Si usamos esto en la ecuación anterior, obtendremos: $$\begin{equation} \vec{a_{cm}}=\vec{a_r}+\frac{m_f}{M} \vec{a_{fr}}, or \end{equation}$$

$$\begin{equation} M \vec{a_r}=-\dot M \vec u-\frac{m_f}{M} \vec{a_{fr}}. \end{equation}$$ Así será$\vec{a_{fr}}$ser cero y si lo será, ¿bajo qué condiciones (este sistema no es inercial)?

NOTA: La velocidad y la aceleración del combustible se consideran efectivas (como tratar todo el combustible como un solo cuerpo).