Confusión con el rizo de la fuerza magnética de Lorentz

Question

Confusión con el rizo de la fuerza magnética de Lorentz

SRS

Como la fuerza magnética es una fuerza sin trabajo, $dW=\vec F\cdot d\vec r=0$ para $\vec F(\vec r)=q(\vec v(\vec r) \times \vec B(\vec r))$ , por lo tanto $\oint \vec F \cdot d\vec r=0$ por el teorema de Stoke. Por lo tanto, $\vec\nabla \times \vec F=0$ . Si esta conclusión es cierta, entonces expandir $\vec\nabla\times[\vec v(\vec r) \times \vec B(\vec r)]$ utilizando explícitamente la identidad vectorial relevante, también se debe obtener cero. Pero parece ser distinto de cero en general. Entonces mi pregunta es si $\vec\nabla\times\vec F=0$ ¿O no?

Respuestas (1)

Confusión con el rizo de la fuerza magnética de Lorentz

qmecanico · Answer 1

I) Es cierto que para la fuerza magnética de Lorentz

\begin{matrix} (1) & F = q v \times B, \end{matrix}

$\tag{1} {\bf F}~=~q{\bf v}\times {\bf B},$

que por lo tanto el trabajo correspondiente (infinitesimal) a lo largo de la trayectoria de la partícula

\begin{matrix} (2) & d W = F \cdot d r = F \cdot v d t = q (v \times B) \cdot v d t = 0 \end{matrix}

$\tag{2} dW~=~{\bf F}\cdot d{\bf r}~=~{\bf F}\cdot {\bf v}dt~=~q({\bf v}\times {\bf B})\cdot {\bf v}dt~=~0$

es cero, simplemente porque el triple producto se anula.

II) La velocidad ${\bf v}$ normalmente no es una función de la posición ${\bf r}$ , cf. por ejemplo, esta publicación Phys.SE, por lo tanto, la noción tradicional de una fuerza conservativa no se aplica. Para una generalización de la noción de fuerza conservativa a fuerzas dependientes de la velocidad, consulte esta respuesta de Phys.SE.

III) Si imaginamos artificialmente un sistema donde la velocidad ${\bf v}({\bf r})$ es una función de posición ${\bf r}$ solo que entonces es fácil encontrar ejemplos en los que la fuerza (1) no esté libre de rotación o, de manera equivalente, no sea un campo de gradiente. Esto no está en contradicción con la ec. (2), ya que la ec. (2) solo se aplica a la trayectoria real de la partícula; no necesariamente para una ruta virtual arbitraria.

@ Qmechanic- Si tomamos $\vec v$ ser independiente de $\vec r$ , entonces no podemos considerar $\vec v \times \vec B(\vec r)$ ser un campo vectorial legítimo y averiguar su curvatura? Como problema matemático, ¿no podemos calcular el rotacional de $\vec v \times \vec B(\vec r)$ directamente y mostrar que es cero? ¿Qué pasa con la conclusión del teorema de Stoke sobre el rotacional de $\vec F$ , ¿ahora?

Confusión con el rizo de la fuerza magnética de Lorentz

SRS

Respuestas (1)

qmecanico

SRS

Algunas preguntas sobre el concepto de trabajo

¿Por qué puedo pasar la mano por la arena pero no por una mesa? [duplicar]

Trabajo realizado por tensión en un sistema-generalización

¿Cómo se transmite la fuerza a través de un cuerpo?

Trabajo realizado por rozamiento sobre trayectoria cerrada

Cálculo del trabajo realizado por una partícula que experimenta una fuerza en coordenadas polares

La fuerza de Lorentz y la violación de la conservación aparente del momento son útiles para la fuerza unidireccional?

cantidad de movimiento y energía de las barras

¿Por qué se desvanece el trabajo virtual total realizado por las fuerzas de las restricciones? (Perpendicularidad de dos o más partículas)

¿Puede la fuerza magnética hacer trabajo? [duplicar]