¿Con qué probabilidad ocurre la fusión nuclear a energías muy por debajo de la barrera de Coulomb?

La aproximación WKB establece que en una dimensión, la probabilidad de tunelización$P$se puede aproximar como

$\ln P=-\frac{2\sqrt{2m}}{\hbar}\int_a^b \sqrt{V-E} dx$,

donde los límites de integración$a$y$b$son los puntos de inflexión clásicos,$m$es la masa reducida, el potencial eléctrico$V$es una función de$x$, y$E$es la energía total. Ajuste$V=kq_1q_2/x$, tenemos para la integral

$I=\int_a^b \sqrt{V-E} dx$

$=\frac{kq_1k_2}{\sqrt{E}}\int_{A}^1\sqrt{u^{-1}-1} du$,

dónde$A=a/b$. La integral indefinida es igual a$-u\sqrt{u^{-1}-1}+\tan^{-1}\sqrt{u^{-1}-1}$, y para$A\ll 1$la integral definida es entonces$\pi/2$. El resultado es

$\ln P=-\frac{\pi kq_1q_2}{\hbar}\sqrt{\frac{2m}{E}}$.

Este resultado se obtuvo en Gamow 1938, y$G=-(1/2)\ln P$se conoce como factor de Gamow o factor de Gamow-Sommerfeld.

El hecho de que la integral$\int_A^1\ldots$se puede aproximar como$\int_0^1\ldots$nos dice que la cola de la derecha de la barrera domina, es decir, es difícil para los núcleos viajar a través del tramo muy largo de$\sim 1$nm sobre el cual el movimiento solo está levemente prohibido clásicamente, pero si pueden hacer eso, es relativamente fácil para ellos penetrar la región altamente clásicamente prohibida en$x\sim1$f.m. Sorprendentemente, el resultado se puede escribir en una forma que depende solo de$m$y$E$, pero no en$a$, es decir, ni siquiera tenemos que conocer el rango de la fuerza nuclear fuerte para calcular el resultado.

La expresión genérica WKB depende de$E$a través de una expresión de la forma$V-E$, lo que podría habernos llevado a creer que con una barrera de 1 MeV, habría poca diferencia si$E$era 1 eV o 1 keV, y la fusión sería tan probable en árboles y casas como en el sol. Pero debido a que la probabilidad de tunelización está dominada por la cola de la barrera, no por su pico, el resultado final termina dependiendo de$1/\sqrt{E}$.

Porque$P$aumenta muy rápidamente en función de$E$, la fusión está dominada por núcleos cuyas energías se encuentran en las colas de la distribución Maxwelliana. Existe un rango estrecho de energías, conocido como la ventana de Gamow, en el que el producto de$P$y la distribución de Maxwell es lo suficientemente grande como para contribuir significativamente a la tasa de fusión.

Gamow y Teller, Phys. Rev. 53 (1938) 608

$E_{out} = 4 \pi n_1 n_2 (m_0-m_a) c^2{(\frac {m}{2k_B T})}^{3/2} \int_0^ \infty \sigma(v) v^2 e^{\frac {-mv^2}{2k_B T}} dv$

$m_0$es la suma de las masas de los núcleos que reaccionan,$m_a$es la suma de las masas de los núcleos producto,$n_1$es la densidad numérica de uno de los núcleos que reaccionan y$n_2$es la densidad numérica del otro núcleo reaccionante,$\sigma(v)$es la probabilidad de que ocurra una reacción de fusión, si la energía es menor que la barrera de culombio, es la probabilidad de un efecto túnel cuántico a través de la barrera de culombio. Si pudiéramos encontrar esa probabilidad, podríamos calcular la producción total de energía de una reacción de fusión nuclear.