¿Cómo se pueden usar los imanes para recoger piezas de metal cuando la fuerza de un campo magnético no funciona?

La fuerza de Lorentz$\textbf{F}=q\textbf{v}\times\textbf{B}$nunca realiza trabajo sobre la partícula con carga$q$. Esto no es lo mismo que decir que el campo magnético nunca funciona. El problema es que no todos los sistemas pueden describirse correctamente como una única carga puntual aislada.

Por ejemplo, un campo magnético funciona en un dipolo cuando cambia la orientación del dipolo. Un campo magnético no uniforme también puede realizar trabajo sobre un dipolo. Por ejemplo, suponga que un electrón, con momento dipolar magnético$\textbf{m}$orientado a lo largo de la$z$eje, se libera en reposo en un campo magnético no uniforme que tiene un$\partial B_z/\partial z$. Entonces el electrón siente una fuerza.$F_z=\pm |\textbf{m}| \partial B_z/\partial z$. Esta fuerza acelera el electrón desde el reposo, dándole energía cinética; hace trabajo sobre el electrón. Para obtener más detalles sobre este escenario, consulte esta pregunta .

También puede tener sistemas compuestos (no fundamentales) en los que las partes interactúan a través de otros tipos de fuerzas. Por ejemplo, cuando un cable que transporta corriente pasa a través de un campo magnético, el campo realiza trabajo sobre el cable como un todo, pero el campo no realiza trabajo sobre los electrones.

Cuando decimos "el campo funciona en el cable", esa declaración está abierta a alguna interpretación porque el cable es compuesto en lugar de fundamental. El trabajo se define como una transferencia mecánica de energía, donde "mecánica" significa distinguir una transferencia de energía a través de una fuerza medible macroscópicamente de una transferencia de energía a escala microscópica, como en la conducción de calor, que no se considera una forma de trabajo. En el ejemplo del alambre, cualquier medida macroscópica confirmará que el campo ejerce una fuerza sobre el alambre y que la fuerza tiene una componente paralela al movimiento del alambre. Dado que el trabajo se define operativamente en términos puramente macroscópicos, el campo definitivamente está realizando trabajo sobre el alambre. Sin embargo, a escala microscópica, lo que sucede es que el campo está ejerciendo una fuerza sobre los electrones,fuerzas eléctricas a la materia a granel del alambre. Visto a nivel macroscópico (que es el nivel en el que se define el trabajo mecánico), el trabajo lo realiza el campo magnético, pero a nivel microscópico lo realiza una interacción eléctrica.

Es una situación similar pero más complicada cuando usas un imán para recoger un clip; el imán realiza trabajo sobre el clip en el sentido de que la fuerza observable macroscópicamente tiene una componente en la dirección del movimiento del clip.

Aunque lo que han dicho Ben y otros podría ser suficiente, me gustaría exponer mi punto.

Considere una pieza de conductor levantada por la fuerza magnética. La corriente es hacia la derecha (con velocidad$w$) y el campo magnético entra en la página . Por lo tanto, la fuerza magnética es hacia arriba . Ahora, a medida que el conductor se mueve hacia arriba , gana una velocidad$u$en dirección ascendente. Por lo tanto, la fuerza magnética cambia de dirección como se muestra en la figura, pero el componente hacia arriba sigue siendo el mismo .

Ahora, observe que la componente horizontal de la fuerza magnética actúa contra la corriente. Para mantener la corriente, la batería responsable de la corriente realiza un trabajo contra esta fuerza y ​​es la fuente del trabajo realizado.

Una analogía popular en la mecánica clásica es la del papel de la fuerza normal al empujar un bloque hacia arriba en una pendiente. La fuerza normal no realiza trabajo pero se requiere para mover el bloque cuesta arriba. Su función es simplemente redirigir$F_{mop}$en dirección ascendente. Este es exactamente el papel de la fuerza magnética en el levantamiento de cosas.$

Fuente de Imágenes y Conocimiento: Introducción a la Electrodinámica de Griffiths

La fuerza de Lorentz es la única fuerza sobre una partícula puntual cargada clásica (carga$q$- vea la respuesta de Ben Crowell sobre partículas no clásicas con un momento magnético fundamental como el electrón). La componente magnética de la fuerza de Lorentz.$q \mathbf{v} \wedge \mathbf{B}$, como saben, siempre forma ángulos rectos con la velocidad$\mathbf{v}$, por lo que no hay trabajo realizado "directamente" por un campo magnético$\mathbf{B}$sobre esta partícula cargada.

Sin embargo, es muy engañoso decir que el campo magnético no puede realizar ningún trabajo porque:

1. Un campo magnético variable en el tiempo siempre engendra un campo eléctrico que puede trabajar en una carga puntual clásica; no se puede separar el campo eléctrico y el magnético desde este punto de vista. "Hacer trabajo" se trata de hacer un cambio en un sistema, y ​​"sacar trabajo de un sistema" se trata de dejar que el sistema cambie para que pueda funcionar en usted. Así que siempre estamos hablando de un campo dinámico al hablar de transferencia de energía y en esta situación debes pensar en el campo electromagnético como un todo unificado. Esto es parte del significado de las ecuaciones rotacionales de Maxwell (leyes de Faraday y de Ampère). Además, una vez que las cosas (es decir, las cargas y los elementos actuales) se ponen en movimiento, a veces se vuelve más fácil pensar en las fuerzas de los marcos de referencia estacionarios con respecto a ellos: las transformaciones de Lorentz luego se "mezclan"
2. Una carga puntual clásica que pertenece a un sistema compuesto (como un electrón "clásico" en una red metálica en un alambre) sobre la que actúa el campo magnético a través de$q \mathbf{v} \wedge \mathbf{B}$empuja lateralmente sobre el cable (en realidad, se desplaza un poco hacia los lados hasta que el desequilibrio de carga que surge de su desplazamiento engendra un campo eléctrico para sostenerlo en la red contra el empuje del campo magnético). El campo magnético no acelera la carga, por lo que no actúa sobre la carga directamente, pero el empuje lateral impartido a través de la carga puede realizar trabajo sobre la red circundante. Los elementos de corriente que no están alineados con el campo magnético tienen torques sobre ellos a través del mismo mecanismo y estos torques pueden funcionar. Estos mecanismos subyacen a los motores eléctricos.
3. Otra forma de resumir las declaraciones 1. y 2. es (como se analiza con más detalle a continuación) que el campo magnético tiene una densidad de energía$\frac{|\mathbf{B}|^2}{2\mu_0}$. Para aprovechar la energía en este campo, debe dejar que el campo magnético disminuya con el tiempo, y el campo eléctrico que surge del campo magnético variable en el tiempo puede funcionar con cargas para recuperar el trabajo almacenado en el campo magnético.
4. El pensamiento de los elementos actuales reducidos a tamaños infinitesimales es una motivación clásica para pensar en la interacción entre los campos magnéticos y las partículas no clásicas con momentos magnéticos fundamentales, como en la respuesta de Ben Crowell (digo una motivación porque si vas demasiado lejos clásicamente con esto uno tiene que pensar en los electrones como cargas dispersas que giran tan rápidamente que su exterior estaría a una velocidad superior a la de la luz, una idea que puso a Wolfgang Pauli en un gran giro).

Podemos poner la mayoría de los mecanismos discutidos en los enunciados 1 y 2 en símbolos: supongamos que deseamos establecer un sistema de corrientes de densidad de corriente$\mathbf{J}$en conductores perfectos (para que no haya pérdida óhmica). Alrededor de las corrientes hay un campo magnético; si deseamos aumentar las corrientes, provocaremos una variación en el tiempo de este campo magnético, de ahí un campo eléctrico$\mathbf{E}$que hace retroceder nuestras corrientes. Entonces, en el período dinámico cuando nuestra corriente cambia, para mantener la corriente en aumento, debemos trabajar por unidad de volumen en las corrientes a una tasa de$\mathrm{d}_t w = -\mathbf{J} \cdot \mathbf{E}$.

Sin embargo, podemos reescribir nuestro sistema actual$\mathbf{J}$con la ayuda de la ley de Ampère:

$\mathrm{d}_t w = -\mathbf{J} \cdot \mathbf{E} = -(\nabla \wedge \mathbf{H}) \cdot \mathbf{E} + \epsilon_0 \mathbf{E} \cdot \partial_t \mathbf{E}$

luego con la ayuda de la identidad estándar$\nabla \cdot (\mathbf{E} \wedge \mathbf{H})=(\nabla \wedge \mathbf{E})\cdot\mathbf{H} - (\nabla \wedge \mathbf{H})\cdot\mathbf{E}$podemos escribir:

$\mathrm{d}_t w = -(\nabla \wedge \mathbf{E}) \cdot \mathbf{H} + \nabla \cdot (\mathbf{E} \wedge \mathbf{H})+\partial_t\left(\frac{1}{2}\epsilon_0 |\mathbf{E}|^2\right)$

y luego con la ayuda de la ley de Faraday:

$\mathrm{d}_t w = +\mu_0 \mathbf{H} \cdot \partial_t \mathbf{H} + \nabla \cdot (\mathbf{E} \wedge \mathbf{H})+\frac{1}{2}\epsilon_0 |\mathbf{E}|^2 = + \nabla \cdot (\mathbf{E} \wedge \mathbf{H})+ \partial_t\left(\frac{1}{2}\epsilon_0 |\mathbf{E}|^2+\frac{1}{2}\mu_0 |\mathbf{H}|^2\right)$

y por último si integramos esta expresión por volumen sobre un volumen$V$que incluye todo nuestro sistema de corrientes:

$\mathrm{d}_t W = \mathrm{d}_t \int_V\left(\frac{1}{2}\epsilon_0 |\mathbf{E}|^2+\frac{1}{2}\mu_0 |\mathbf{H}|^2\right)\,\mathrm{d}\,V + \oint_{\partial V} (\mathbf{E} \wedge \mathbf{H}).\hat{\mathbf{n}} \,\mathrm{d}\,S$

(la integral de volumen se convierte en una integral de superficie a fuerza del teorema de la divergencia de Gauss). Para muchos campos, particularmente los cuasiestáticos, como$V$se vuelve muy grande, el vector de Poynting ($\mathbf{E} \wedge \mathbf{H}$- que representa la radiación), integrada sobre$\partial V$es insignificante, lo que nos lleva a la idea de que el almacén de nuestro trabajo es la integral de volumen de$\frac{1}{2}\epsilon_0 |\mathbf{E}|^2+\frac{1}{2}\mu_0 |\mathbf{H}|^2$, por lo que el campo magnético contribuye al trabajo almacenado. Debe quedar claro que esta discusión es una descripción general de cualquier situación electromagnética dinámica y es totalmente independiente del signo de$\mathrm{d}_t W$. Así que se aplica igualmente ya sea que estemos trabajando a través de las corrientes en el campo o que el campo esté trabajando en nosotros.

Lo anterior es muy general: podemos enfocarlo con mayor nitidez con un ejemplo específico en el que es casi en su totalidad el campo magnético almacenando y haciendo trabajo: digamos que tenemos una hoja de corriente que circula en forma de solenoide de modo que hay un campo casi uniforme. campo magnético en el interior. Para un solenoide de radio$r$, el flujo a través del solenoide es$\pi r^2 |\mathbf{B}|$y la inducción magnética si la densidad de corriente de la hoja es$\sigma$amperios por cada metro de solenoide es$|\mathbf{B}| = \mu_0 \sigma$. Si elevamos la densidad de corriente, hay un EMF (campo eléctrico transitorio) de retorno alrededor de la corriente superficial contra el cual debemos trabajar y el trabajo realizado por unidad de longitud del solenoide es:

$\mathrm{d}_t W = \sigma \pi r^2 \mathrm{d}_t |\mathbf{B}| = \frac{1}{2} \mu_0 \pi r^2 \mathrm{d}_t \sigma^2 = \pi r^2 \times \mathrm{d}_t \frac{|\mathbf{B}|^2}{2 \mu_0}$

Todo esto supone que la tasa de cambio es tal que la longitud de onda es mucho, mucho mayor que$r$. Así que ahora, la reserva de energía es puramente un campo magnético: la densidad de energía del campo eléctrico$\frac{1}{2}\epsilon_0 |\mathbf{E}|^2$es insignificante para este ejemplo, al igual que la contribución del vector de Poynting (tome el volumen$V$en el argumento anterior para ser una superficie cilíndrica justo fuera del solenoide: justo fuera del solenoide, el campo magnético se desvanece y los vectores de Poynting son radiales en los extremos del cilindro, por lo que tampoco contribuyen. El análisis anterior funciona a la inversa: si dejamos que las corrientes disminuyan, el campo electromagnético puede trabajar con las corrientes y, por lo tanto, se puede recuperar la energía magnética almacenada.

Un imán recoge piezas de hierro porque alguien ha configurado ese sistema para que tenga las condiciones iniciales para que esto suceda. El imán se movió a un lugar particular cerca de algunas piezas de metal ferromagnético, o viceversa.

Las piezas de metal se mueven porque hacerlo reduce su energía potencial en el campo magnético en una cantidad mayor de lo que aumenta su potencial gravitatorio.

El sistema libera energía. Cuando la pieza de hierro golpea el imán y se adhiere a él, produce un sonido y calor. No es realmente una cuestión de quién o qué hace el trabajo, sino una situación en la que un sistema físico se ha reorganizado y ha cambiado la energía de una forma a otra.

Cuando las piezas están al lado del imán, provocan que el campo se concentre a través de ellas porque son altamente permeables. A medida que el imán se cubre con piezas, más y más de su campo se concentra a través de las piezas, y cada vez menos está disponible para atraer nuevas piezas. Es como una batería descargada.

Eventualmente, debe "recargar" el sistema limpiando el imán para poder seguir usándolo. Cuando separas las piezas del imán, tienes que poner energía.

De la fórmula de la fuerza de Lorentz parece que el campo magnético no realiza trabajo por definición . La contribución magnética es perpendicular al desplazamiento que provoca. Sin embargo, la derivada temporal del campo magnético es idéntica a la rotación del campo eléctrico, por lo que implica la existencia de un campo eléctrico que realiza trabajo. Entonces, aunque formalmente B no realiza trabajo, un campo magnético cambiante está directamente asociado con el trabajo.

La causa principal de esta confusión es que E y B no son cantidades independientes, aunque solo a partir de la fuerza de Lorentz parecen serlo.

A continuación se muestra la opinión de Landau & Lifshitz.

Cita de "ELECTRODINÁMICA DE MEDIOS CONTINUOS" (Segunda Edición), página 128:

"Cuando un conductor se mueve, las fuerzas

($\overrightarrow j$densidad actual.$\overrightarrow H$campo magnético)

hacer trabajo mecánico en él.

A primera vista, podría parecer que esto contradice el resultado de que las fuerzas de Lorentz no realizan trabajo sobre cargas en movimiento.

En realidad, por supuesto, no hay contradicción, ya que el trabajo realizado por las fuerzas de Lorentz en un conductor en movimiento incluye no solo el trabajo mecánico sino también el trabajo realizado por las fuerzas electromotrices inducidas en el conductor durante su movimiento.

Estas dos cantidades de trabajo son iguales y opuestas.

En la expresión (1) $\overrightarrow H$es el valor real del campo magnético debido tanto a fuentes externas como a las propias corrientes sobre las que actúa la fuerza (1) .

La fuerza total ejercida por un campo magnético sobre un conductor por el que circula una corriente está dada por la integral

Sin embargo, al calcular la fuerza total de (2) , podemos tomar$\overrightarrow H$ser simplemente el campo externo en el que se coloca el conductor que lleva una corriente.

El campo del conductor mismo no puede, por la ley de conservación de la cantidad de movimiento, contribuir a la fuerza total que actúa sobre el conductor".

Fin de la cita.

¡El trabajo de recoger algo no lo hace el imán, sino usted!

Si un imán y una pieza de hierro estuvieran en el espacio libre (es decir, vacío y sin gravedad), simplemente comenzarían a acercarse, convirtiendo la energía potencial del campo magnético en energía cinética. En el campo de gravedad, ambos caerían hacia abajo, pero, por ejemplo, si el imán estuviera por encima del hierro, el imán caería un poco más rápido y el hierro un poco más lento debido a la atracción común.

Pero ahora estás tú (o, por ejemplo, una grúa) sujetando el imán en una posición fija (y el suelo evitando que la plancha caiga a través de fuerzas reactivas ). Hay dos escenarios:

• Pones el imán en la plancha. En ese caso, simplemente se mantienen unidos y cuando levantas los dos, obviamente eres tú quien hace el trabajo.
• Pasas el imán sobre la plancha. Cuando esté lo suficientemente cerca, el hierro se elevará hacia el imán. Pero el imán también es atraído por el hierro y tira hacia abajo. Pero no dejarás que te deprima, tensas los músculos un poco más para contrarrestar esto. Estás haciendo trabajo cuando colocas el imán sobre el hierro, y es (básicamente) exactamente la cantidad requerida para agregar energía potencial al hierro ahora unido a tu imán.

Me sorprende que ninguna de las respuestas aquí haya utilizado la solución más fácil y confiable usando el tensor de campo electromagnético.
Considere un alambre grande orientado a lo largo del eje X, que transporta una corriente I en un campo magnético estático a lo largo del eje z negativo. ¡Esto causará una fuerza en el cable hacia arriba y en el marco de reposo y el trabajo realizado es exactamente el trabajo realizado por la batería para mantener la corriente! Ese trabajo negativo lo realiza el campo eléctrico en dirección opuesta a la corriente en el marco del alambre. Esto se puede verificar realizando la transformada de Lorentz en el tensor electromagnético en la dirección y. Un campo magnético en la dirección z tendrá una componente de campo eléctrico en la dirección x cuando Lorentz se transforme en la dirección y. A continuación se muestra cómo se verá el tensor electromagnético en la estructura de alambre después de la transformación de Lorentz en la dirección y.

Así que en el marco de alambre,

El campo magnético provoca la orientación sin realizar ningún trabajo. La formula del trabajo no es$F$, es$W = \int F \cdot dr$, donde la integral es a lo largo del camino y$\cdot$es el producto escalar vectorial.

Si haces tus cálculos correctamente, verás$W = 0$.

Bueno, aquí vamos en matemáticas.

W = SF.ds F = ma = m d2/dt2. F = qv x B = - vB xv = vmB x (vx dv/dt) F = vmB x 0.5x(vx ds2/d2t + dv/dt x dv/dv) F = Cuando v = constante => dv/dt & otras derivadas son 0), por lo tanto SF.ds = 0