¿Cómo se pueden derivar KVL y KCL de las ecuaciones de Maxwell?

$\def\vE{{\vec{E}}}$ $\def\vD{{\vec{D}}}$ $\def\vB{{\vec{B}}}$ $\def\vJ{{\vec{J}}}$ $\def\vr{{\vec{r}}}$ $\def\vA{{\vec{A}}}$ $\def\vH{{\vec{H}}}$ $\def\ddt{\frac{d}{dt}}$ $\def\rot{\operatorname{rot}}$ $\def\div{\operatorname{div}}$ $\def\grad{\operatorname{grad}}$ $\def\rmC{{\mathrm{C}}}$ $\def\rmM{{\mathrm{M}}}$ $\def\ph{{\varphi}}$ $\def\eps{{\varepsilon}}$

Ley de Faraday en forma integral:

$$\oint_{\partial A} \vE \cdot d\vr + \ddt\int_A \vB\cdot d\vA = 0$$ De este modo, $A$es alguna superficie y $\partial A$su límite. El límite se puede dividir en caminos parciales $\bigcup_k C_k = \partial A$y la integral se convierte en $$\sum_{k} \int_{C_k}\vE\cdot d \vr + \ddt\int_A \vB\cdot d\vA = 0$$ Puede definir las caídas de tensión $V_k := \int_{C_k}\vE\cdot d\vr$y el voltaje inducido $V_i$. De esta manera obtienes la ley de voltaje de Kirchhoff $$\sum_{k} V_k + V_i = 0.$$ La ley de Ampere dice $$\oint_{\partial A} \vH\cdot d\vr = \int_A \vJ\cdot d \vA + \int_A \dot\vD\cdot d\vA.$$ Si elige una superficie cerrada $A$entonces el límite $\partial A$está vacío, la integral de la izquierda es cero y la ecuación para una superficie cerrada se convierte en $$0 = \oint_A \vJ\cdot d \vA + \oint_A \dot\vD\cdot d\vA$$ Seccionamos la superficie en superficies parciales $A_k$de secciones transversales de conductores y un límite parcial de un aislador $A_i$. Las integrales correspondientes $I_k:=\int_{A_k}\vJ \cdot d\vA$son las corrientes a través de estos conductores. Además, tenemos las corrientes de transferencia de carga $I_{Ck}:=\int_{A_k}\dot\vD \cdot d\vA$para los conductores y para el aislador $I_{i} := \int_{A_i}\dot \vD \cdot d\vA$. Esto te da la ley actual de Kirchhoff $$\sum_{k} I_k + \sum_{k} I_{Ck} + I_{i} = 0.$$

Si uno incluye voltajes de inducción y corrientes de carga de transferencia en KVL y KCL, estas leyes representan directamente las leyes de Faraday y Ampere. Estas cantidades se pueden modelar a través de la inductancia y la capacitancia parásitas en el diagrama de la red.

Los campos$\vE$,$\vJ$,$\vD$,$\vH$,$\vB$de la solución exacta de las ecuaciones de Maxwell satisfacen la ley de Faraday y Ampere para cada superficie lisa por partes$A$.

El modelado de redes se puede interpretar como una discretización de las ecuaciones de Maxwell. A través de la selección finita de integrales de trayectoria e integrales de superficie, el número de grados de libertad y el número de ecuaciones se reducen de infinito para los campos vectoriales al número finito de variables de voltaje y corriente y al número finito de ecuaciones de bucle y corte correspondientes.

Una discretización puede dar los resultados exactos si las relaciones VI de los elementos finitos dan soluciones de campo exactas (como problemas de valores límite). Esto es (casi) posible con circuitos de CC.

Para aplicaciones de mayor frecuencia, es necesario refinar la discretización. Una buena guía para la elección del ancho de discretización es la longitud de onda de las ondas electromagnéticas consideradas en el circuito. En la práctica, eso significa que es necesario incluir más elementos parásitos en el modelo de red para frecuencias más altas.

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Poco a poco espero entender lo que quiere decir con el 'principio integrado'. Creo que es útil ver cómo la relación de comportamiento de un elemento de red se deriva de las ecuaciones de Maxwell y se integra en la teoría de redes.

Tenga en cuenta que en esta respuesta , acabo de derivar la relación VI de una resistencia a partir de las ecuaciones de Maxwell. La relación VI para un capacitor se puede derivar de manera similar. Para el inductor, necesita el voltaje inducido como se definió anteriormente.

En una amplia gama de aplicaciones, los campos se pueden aproximar como casi estacionarios. Con esta aproximación resulta que para muchas estructuras básicas la integral de trayectoria sobre la intensidad de campo, es decir, la caída de tensión está directamente relacionada con la integral de sección transversal sobre la densidad de corriente, es decir, la corriente. Este hecho y las ecuaciones anteriores para ciertas integrales de trayectoria sobre la intensidad de campo (KVL) y ciertas integrales de superficie sobre la densidad de corriente (KCL) se explotan en la teoría de redes.

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Tenga en cuenta que la división de voltajes en las integrales de trayectoria$V_k:=\int_{C_k} \vE\cdot d \vr$y el voltaje de inducción es solo una forma de interpretación que tiene sus inconvenientes.

Para una instancia con un campo magnético variable en el tiempo, la separación espacial sugerida por la fórmula$\sum_{k} V_k + V_i = 0$realmente no existe.

Hay otro enfoque en el que la intensidad de campo$\vE$se divide en una parte de Coulomb y una parte magnética. Lamentablemente, ya no conozco la referencia y aprendí esto hace más de 10 años. Pero, si está realmente interesado, puedo intentar recuperarlo (esto no es tan fácil y llevará su tiempo).

La idea es aplicar la conocida técnica de los potenciales vectoriales magnéticos$\vB=\rot \vA$que resuelven la ecuación de divergencia$\div\vB=0$. Como una condición de calibre$\div\vA=0$se utiliza en esta configuración.

La ley de Faraday en forma diferencial entonces se lee

$$\rot(\vE+\dot\vA) = 0$$ que asegura en un dominio simplemente conexo la existencia de un potencial $\ph$para el campo vectorial $\vE+\dot\vA$, es decir, $$\begin{array}{rcl} \vE + \dot\vA &=& -\grad\ph\\ \vE &=& \underbrace{-\grad\ph}_{\vE_\rmC} \underbrace{-\dot\vA}_{\vE_\rmM} \end{array}$$ En esta fórmula $\vE_\rmC$es la parte de Coulomb de la intensidad del campo eléctrico y $\vE_\rmM$es la parte magnética de la intensidad del campo.

Entonces, la ley de voltaje de Kirchhoff se mantiene sin restricciones para las caídas de voltaje definidas con la parte de Coulomb de la intensidad de campo.$V_k := \int_{C_k} \vE_\rmC \cdot d\vr$.

Por ejemplo, en el caso de permitividad constante$\eps$la parte de Coulomb es la causa de las cargas espaciales:

$$\begin{array}{rl} \rho &= \div \vD\\ & = \div \eps (\vE_\rmC - \dot\vA)\\ & = \eps \div \vE_\rmC - \eps\frac{\partial}{\partial t}\underbrace{\div\vA}_{=0}\\ &= \eps \div \vE_\rmC \end{array}$$ Luego, se pueden derivar las relaciones VI para los elementos de la red en función de la parte de Coulomb y la parte magnética de los voltajes y las corrientes.

Este enfoque respeta que la parte de Coulomb y la parte magnética coexisten en todas partes del circuito.

Pero, todavía no he visto este enfoque en el uso práctico.