Estos son realmente problemas matemáticos (álgebra y cálculo básico) en lugar de problemas de biología.

Oinf proviene de resolver algebraicamente la primera ecuación que publicaste para el estado estacionario: es decir, cuando dO/dt = 0; solo resuelve para O.

La constante de tiempo surge porque se trata de un decaimiento exponencial de primer orden, que obtienes cuando resuelves una ecuación (calculas una integral) de la forma dO/dT = -lambda * O. La solución a esa ecuación es un decaimiento exponencial de la forma O(t) = O(0) * exp(-lambda*t)

tau se define como 1/lambda y le da la tasa de decaimiento (constante de tiempo de relajación).

mi pregunta es como estan$O_{inf}$y$\tau$¿derivado?

"... simplemente se puede demostrar que en condiciones de estado estacionario ..." -- Al tener en cuenta específicamente las condiciones de estado estacionario , se pueden hacer ciertas suposiciones al utilizar el modelo matemático que propone el libro, lo que finalmente nos permitirá llegar a las conclusiones sobre$O_{inf}$y$\tau$.

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Para derivar$O_{inf} = \frac{k_{1}}{k_{1} + k_{-1}}$

Utilizaremos la ecuación diferencial proporcionada por el libro y estableceremos$\frac{\mathrm{dO} }{\mathrm{d} t} = 0$, dado el hecho de que estamos considerando condiciones de estado estacionario ; es decir, un estado del canal iónico en el que su carga y descarga de voltaje tienen la misma velocidad. Al forzar el cambio en la carga y descarga de voltaje para que tenga un valor de cero, podemos resolver la carga de voltaje en estado estable, representada por$O$.

$$\frac{\mathrm{dO} }{\mathrm{d} t} = 0 = k_{1}(1-O)-k_{-1}O$$

$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: = k_{1} - k_{1}O + k_{-1}O$$

$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: = k_{1} - O(k_{1} + k_{-1})$$
Ahora aislaremos $O$moviendo sus términos a la LHS de la ecuación, y luego dividiendo por $(k_{1} - k_{-1})$.

$$0 = k_{1} - O(k_{1} + k_{-1})$$

$$O(k_{1} + k_{-1}) = k_{1}$$

$$O_{inf} = \frac{k_{1}}{k_{1} + k_{-1}}$$

Dado que el libro menciona la conservación de la masa al contextualizar la expresión$C + O = 1$, parecería que el resultado de esta expresión (matemática) cuantifica el estado abierto (y cerrado) de un canal iónico en términos del número de iones que no están reforzando el estado de conductancia en un momento dado. Siento que es importante hacer esta distinción porque me he encontrado con esta ecuación en otros contextos, y cada contexto trae consigo diferentes conjuntos de suposiciones que se pueden y no se pueden hacer.

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Para derivar$\tau = \frac{1}{k_{1} + k_{-1}}$

Nuevamente, comenzamos con la ecuación diferencial, pero esta vez integraremos. Para facilitar la notación, primero haremos las sustituciones$O = y$y$\frac{\mathrm{dO}}{\mathrm{d} t} = y'$.

Comenzando con un paso intermedio de la sección anterior,

$$\frac{\mathrm{dO} }{\mathrm{d} t} = k_{1} - O(k_{1} + k_{-1})$$

$$y' = k_{1} - y(k_{1} + k_{-1})$$

y ahora aplicando separación de variables,

$$\frac{y'}{k_{1} - y(k_{1} + k_{-1})} = 1$$

entonces usamos$u$-sustitución para integrar la LHS de la ecuación, donde$u = k_{1} - y(k_{1} + k_{-1})$y$u' = -y'(k_{1} + k_{-1})$, cuyos rendimientos

$$\int \frac{y'}{k_{1} - y(k_{1} + k_{-1})} = \int 1$$
$$-\frac{1}{k_{1} + k_{-1}} \: \int \frac{u'}{u} = \int 1$$
$$-\frac{ln|u|}{k_{1} + k_{-1}} = t$$

Resolviendo para$u$, tenemos

$$- \: \frac{ln|u|}{k_{1} + k_{-1}} = t$$
$$ln|u| = \: - \: t(k_{1} + k_{-1})$$
$$u = exp\begin{Bmatrix} - t \: (k_{1} + k_{-1}) \end{Bmatrix}$$ que es lo mismo que $$k_{1} - y(k_{1} + k_{-1}) =exp \begin{Bmatrix} - t \: (k_{1} + k_{-1}) \end{Bmatrix}$$

Ahora, resolviendo para$y$y sustituyendo hacia atrás$O$para$y$,

$$O = \frac{k_{1}}{k_{1} + k_{-1}} \: \: exp \begin{Bmatrix} - t \: (k_{1} + k_{-1}) \end{Bmatrix}$$
y notando que $\frac{k_{1}}{k_{1} + k_{-1}} = O_{inf}$tenemos

$$O = O_{inf} \: \: exp \begin{Bmatrix} - t \: (k_{1} + k_{-1}) \end{Bmatrix}$$
Por último, reexpresamos el argumento exponencial como

$$- t \: (k_{1} + k_{-1}) = \frac{-t}{\frac{1}{k_{1} + k_{-1}}}$$
dónde $\tau = \frac{1}{k_{1} + k_{-1}},$para luego obtener

$$O = O_{inf} \: \: e^{-t/\tau}$$

que se ajusta a la forma de la ecuación de decaimiento exponencial,$N(t) = N_{0} \: e^{-t/\tau}$, dónde$N = O$y$N_{0} = O_{inf}$, y$\tau$se define como el tiempo promedio que un ion permanece sin cambios por el estado de conductancia de un canal de iones en un momento dado$t$.