¿Cómo se definieron y calcularon las latitudes geodésicas y geocéntricas del transbordador espacial?

Dada la latitud, longitud y radio geocéntricos o la latitud, longitud y altitud geodésicas, el cálculo de las coordenadas cartesianas centradas en la Tierra y fijas en la Tierra es bastante simple. Para coordenadas geocéntricas$R,\theta,\lambda$, uno usa

$$\begin{aligned} R\ &\text{is the radial distance from the center of the Earth} \\ \theta\ &\text{is the geocentric latitude} \\ \lambda\ &\text{is the longitude} \\ \\ x &= R \cos\theta \cos\lambda \\ y &= R \cos\theta \sin\lambda \\ z &= R \sin\theta \end{aligned}$$ Es un poco más complejo con coordenadas geodésicas.$h, \phi, \lambda$, pero aún sencillo (ecuación 1): $$\begin{aligned} h\ &\text{is the altitude above some reference ellipsoid} \\ \phi\ &\text{is the geodetic latitude} \\ \lambda\ &\text{is the longitude} \\ a\ &\text{is the equatorial radius of that reference ellipsoid} \\ e\ &\text{is the eccentricity of that reference ellipsoid} \\ \\ N\ &\text{is the radius of curvature of the reference ellipsoid at the subsatellite point:} \\ N &= \frac{a}{1-e^2\sin^2\phi} \\ \\ x &= (N+h) \cos\phi \cos\lambda \\ y &= (N+h) \cos\phi \sin\lambda \\ z &= (N(1-e^2)+h) \sin\phi \end{aligned}$$

¿Qué pasa con el problema inverso, calcular coordenadas geocéntricas o geodésicas dadas coordenadas cartesianas centradas en la Tierra y fijas en la Tierra? Geocéntrico es fácil:

$$\begin{aligned} r^2 &= x^2 + y^2 \\ R^2 &= r^2 + z^2 \\ \tan \theta &= \frac z r \\ \tan \lambda &= \frac y x \end{aligned}$$ Las coordenadas geodésicas para puntos que se sabe que están en el elipsoide de referencia también son fáciles: $$\begin{aligned} r^2 &= x^2 + y^2 \\ h &= 0 \\ \tan \phi &= \frac z{r(1-e^2)} \\ \tan \lambda &= \frac y x \end{aligned}$$

Pero, ¿qué pasa con los puntos que no están en el elipsoide de referencia? Esto implica resolver la ecuación (1) para$h$,$\phi$, y$\lambda$dado$x$,$y$, y$z$. Este es un lío caliente trascendental. Se ha publicado una gran cantidad de artículos sobre cómo lograr esto, todos con iteración o aproximación, que son las únicas opciones cuando se enfrentan a un lío trascendental. Una pequeña muestra de los muchos artículos publicados sobre este tema:

KM Borkowski, “Algoritmos precisos para transformar coordenadas geocéntricas en geodésicas”, Bulletin Géodésique , 63.1 50–56 (1989).

T. Fukushima, "Transformación rápida de coordenadas geocéntricas a geodésicas", Journal of Geodesy 73.11 603-610 (1999).

M. Ligas y P. Banasik, “Conversión entre coordenadas cartesianas y geodésicas en un elipsoide de rotación al resolver un sistema de ecuaciones no lineales”, Geodesia y Cartografía 60.2 145-159 (2011).

P. Civicioglu, "Transformación de coordenadas cartesianas geocéntricas en coordenadas geodésicas mediante el uso de un algoritmo de búsqueda diferencial", Computers & Geosciences 46 229-247 (2012).