Wikipedia da la fórmula para el calentamiento de las mareas$\dot{E}$como

$$\dot{E}=-\text{Im}(k_2)\frac{21}{2}\frac{R^5n^5e^2}{G}\tag{1}$$ dónde$R$es el radio del satélite,$n$es algo extraño llamado su movimiento orbital medio , y$e$es la excentricidad de su órbita. En realidad no me gusta esta representación. Otra forma de reescribirlo usa la relación $$\mu=a^3n^2\implies n^5=\left(\frac{Gm_p}{a^3}\right)^{5/2}$$ dónde$\mu\equiv Gm_p$, con$m_p$la masa del planeta. Por lo tanto, encontramos que $$\dot{E}=-\text{Im}(k_2)\frac{21}{2}\frac{G^{3/2}m_p^{5/2}R^5e^2}{a^{15/2}}\tag{2}$$ Eso es un poco feo, pero se deshace de$n$, por lo que todas las demás variables son propiedades de la órbita de la luna o propiedades físicas de la luna o el planeta.

Cálculo del segundo número de amor

ignoré eso$k_2$- llamado el segundo número de amor - porque es un poco complicado de calcular. Por lo general, lo ignoro por completo y lo sustituyo por algo como$0.02$o$0.03$por$\text{Im}(k_2)$para satélites como nuestra Luna (ver 1 y 2 ). Pero si realmente quieres calcularlo, adelante.

Mi referencia es Hussman et al. (2010) , en concreto,$\text{Eq. }32$:

$$k_2=1.5\left(1+\frac{19}{2}\frac{\mu_c}{\rho gR_s}\right)^{-1}$$ por rigidez$\mu_c$, gravedad superficial$g$y radio$R_s$.$\mu_c$se puede calcular como $$\text{Re}(\mu_c)=\frac{\eta^2n^2\mu}{\mu^2+\eta^2n^2},\quad\text{Im}(\mu_c)=\frac{\eta n\mu^2}{\mu^2+\eta^2n^2}$$ y $$\mu_c=\text{Re}(\mu_c)+\text{Im}(\mu_c)$$ para rigidez elástica$\mu$, viscosidad$\eta$y movimiento medio $n$, definido como$2\pi$dividido por el período de la órbita del satélite.$\text{Re}(z)$y$\text{Im}(z)$denota las partes real e imaginaria de un número complejo. En otras palabras, si $$z=a+bi$$ para números reales$a$y$b$, después $$\text{Re}(z)=a,\quad\text{Im}(z)=b,\quad z=\text{Re}(z)+i\text{Im}(z)=a+bi$$

$\mu_c$es un número imaginario, y por lo tanto también lo es$k_2$. Sin embargo, podemos simplificar esto un poco. si establecemos

$$a\equiv\frac{19}{2\rho gR_s}\text{Re}(\mu_c),\quad b\equiv\frac{19}{2\rho gR_s}\text{Im}(\mu_c)$$ , después $$k_2=(a+1)\frac{1.5}{(a+1)^2+b^2}-\frac{1.5bi}{(a+1)^2+b^2}$$ y así tenemos una expresión mucho mejor para$\text{Im}(k_2)$: $$\text{Im}(k_2)=-\frac{1.5b}{(a+1)^2+b^2}$$ Ahí. Espero que haya sido divertido. Una vez más, sin embargo, es mucho mejor que simplemente sustituyas los valores típicos.$k_2$ha sido estudiado y medido con mucho detalle.

Escalado basado en Io

Se han realizado mediciones sobre el calentamiento por marea relativamente significativo de Io , una de las lunas de Júpiter. Un valor razonable para$\dot{E}$ es$\sim10^{14}$vatios _ También conocemos parámetros adicionales:

• $\text{Im}(k_2)\approx0.015\pm0.003$
• $R\approx1800\text{ km}$
• $e\approx0.0041$
• $a\approx4.2\times10^5\text{ km}$

Por lo tanto, dejar$M_J$sea ​​la masa de Júpiter, y conectando$G^{3/2}$, encontramos que, suponiendo un modelo interno similar al de Io, la magnitud de$\dot{E}$es

$$\dot{E}\approx10^{14}\left(\frac{\text{Im}(k_2)}{0.015}\right)\left(\frac{m_p}{M_J}\right)^{5/2}\left(\frac{R}{1800\text{ km}}\right)^5\left(\frac{e}{0.0041}\right)^2\left(\frac{a}{4.2\times10^{5}\text{ km}}\right)^{-15/2}\text{ Watts}\tag{3}$$ con el que es de esperar que sea más fácil trabajar que$(2)$.