Hace exactamente lo mismo: "rota" el estado y luego mide a lo largo de cualquier eje que mida su aparato de medición. La única diferencia aquí es que la "rotación" no corresponde necesariamente a una rotación en el espacio como lo hace para un verdadero giro.

Lo que sigue es una descripción detallada de cómo hacemos las rotaciones de un sistema genérico de 2 niveles. Estas rotaciones, más la medición a lo largo de un eje fijo, producen mediciones efectivas a lo largo de cualquier eje.

ejemplo genérico

Considere un sistema de oscilador armónico con$H=\hbar \omega_0(n + 1/2)$. Supongamos que sometemos esta cosa a una fuerza externa

$$F(t) = F_d \cos(\omega t + \phi).$$ Probablemente sepa que si $\omega_d=\omega_0$entonces la conducción hará que el sistema experimente transiciones entre los diversos estados. Entonces, trabajemos en el caso. $\omega_d = \omega_0$. ¿Cuál es el hamiltoniano causado por esta fuerza impulsora? El trabajo realizado por una fuerza es $\text{force}\times \text{distance}$entonces el término hamiltoniano es $$H_d = -F(t)x = -F_d \cos(\omega_0 t + \phi) x$$ donde el signo menos viene porque una fuerza externa apunta a la derecha significa que el sistema tiene menos energía potencial si va a la derecha. Podemos reescribir el operador de posición como (ver cualquier libro de texto de introducción) $$x = x_0(a + a^\dagger)$$ dónde $x_0$es una escala de longitud característica en el problema. Usando esto, el hamiltoniano impulsor se convierte en $$H_d = -F_d x_0 \cos(\omega_0 t + \phi) (a + a^\dagger).$$ dando un hamiltoniano completo $$H = \hbar \omega_0(n + 1/2) - F_d x_0 \cos(\omega_0 t + \phi) (a + a^\dagger) .$$ Esto es complicado porque tenemos tanto el hamiltoniano original $H_0$y un tiempo dependiente $V(t)$. Para solucionar esto vamos a entrar en un marco giratorio.

El marco giratorio

Supongamos que tenemos un sistema con hamiltoniano

$$H = H_0 + V(t)$$ Hay varias "imágenes" alternativas que se pueden usar para simplificar el problema. Probablemente haya oído hablar de la "imagen de Heisenberg" y quizás de la "imagen de interacción". Aquí desarrollamos una tercera imagen llamada "marco giratorio". Considere el propagador de $H_0$ $$U_0(t) = \exp[-itH_0/\hbar] .$$ Si el tiempo depende $V(t)$estaban ausentes, entonces la evolución temporal del sistema sería porque $$|\Psi_0(t)\rangle = U_0(t)|\Psi(0)\rangle.$$ La idea del marco giratorio es deshacer la parte de la evolución debida a $U_0$. Definir un nuevo estado $$|\Psi'(t)\rangle \equiv R(t) |\Psi_0(t)\rangle .$$ dónde $R(t) \equiv U_0(t)^\dagger = \exp[itH_0/\hbar]$. En otras palabras, $R$deshace $U_0$. Ahora sigamos la evolución de esta cosa nueva. $$\begin{align} i\hbar d_t |\Psi'(t)\rangle &= i\hbar d_t (R(t) |\Psi_0(t)\rangle) \\ &= i\hbar \dot{R}(t) |\Psi_0(t)\rangle + i\hbar R(t) d_t |\Psi_0(t)\rangle \\ &= i\hbar \dot{R}(t) R^\dagger(t)|\Psi'(t)\rangle + R(t)(H_0 + V(t))|\Psi_0(t)\rangle \\ &= [i\hbar (iH_0/\hbar)R(t)R^\dagger(t) + H_0 + R(t)V(t)R^\dagger(t) ] |\Psi'(t)\rangle \\ &= [R(t) V(t) R^\dagger(t)]|\Psi'(t)\rangle . \end{align}$$ Ahora tenemos una ecuación de Schrödinger simple donde el "hamiltoniano de marco giratorio" efectivo es $$H_r = R(t)V(t)R^\dagger(t).$$ El punto es que el hamiltoniano original se ha ido por completo. Esto deja solo una parte dependiente del tiempo que hace la vida un poco más fácil.

Volviendo al ejemplo

Tuvimos

$$H = \hbar \omega_0(n + 1/2) - F_d x_0 \cos(\omega_0 t + \phi) (a + a^\dagger) .$$ Usemos la parte independiente del tiempo para hacer un marco giratorio. El operador de rotación $R$es $$R(t) = \exp[i\omega_0t (n + 1/2)]$$ y la parte dependiente del tiempo del hamiltoniano es $$V(t) = -F_d x_0 \cos(\omega_0 t + \phi) (a + a^\dagger).$$ Si formamos el marco giratorio hamiltoniano encontramos (sin hacer álgebra aquí) $R(t)aR^\dagger(t) = a e^{-i\omega_0 t}$, lo que lleva a $$H_r = R(t)V(t)R^\dagger(t) = -F_d x_0 \cos(\omega_0 t + \phi) (a e^{-i\omega_0 t} + a^\dagger e^{i\omega_0 t}).$$ Si ahora usamos $$\cos(\omega t + \phi) = \frac{1}{2} \left[ e^{i(\omega_0 t + \phi)} + e^{-i(\omega_0 t + \phi} \right]$$ obtenemos $$H_r = -\frac{F_d x_0}{2} \left[ ae^{i\phi} + ae^{-i(2\omega_0 t + \phi)} + a^\dagger e^{-i\phi} + a^\dagger e^{i(2\omega_0 t + \phi)} \right]$$ Los dos términos dependientes del tiempo oscilan a alta frecuencia y se desprecian en la llamada "aproximación de onda rotatoria". esto deja $$H_r = -\frac{F_d x_0}{2} \left[ ae^{i\phi} + a^\dagger e^{-i\phi} \right] . \qquad (*)$$ Ahora supongamos que nuestro sistema no fuera un oscilador armónico, por lo que solo la primera brecha de energía tiene espaciado de energía. $\hbar \omega_0$. En ese caso, nuestra unidad no está en resonancia con ningún otro nivel y es una buena aproximación considerar solo los dos niveles más bajos que están en resonancia con la unidad. Si truncamos el $a$y $a^\dagger$operadores a los dos niveles inferiores, se convierten en $$a = \left( \begin{array}{cc} 0&1\\0&0 \end{array}\right) \qquad a^\dagger = \left( \begin{array}{cc} 0&0\\1&0 \end{array} \right).$$ Sustituyendo esto en $(*)$da $$H_r = -\frac{F_d x_0}{2} \left( \begin{array}{cc} 0 & e^{i\phi} \\ e^{-i\phi} & 0 \end{array} \right) = -\frac{F_d x_0}{2}(\cos(\phi)\sigma_x - \sin(\phi)\sigma_y).$$ Este es el resultado clave. aquí vemos $H_r$ser una rotación del estado alrededor de un eje en el $xy$avión. El ángulo del eje está determinado por $\phi$que era solo la fase de nuestra señal de conducción inicial. Esto significa que al controlar la fase de nuestra fuerza impulsora, podemos rotar el estado sobre cualquier eje en el $xy$¡avión! Por supuesto, excepto en el caso de un giro real, esta "rotación" no es una rotación en el espacio 3D real. Es una rotación en el espacio de Hilbert del sistema de dos niveles que, como saben, se parece a la superficie de una esfera (llamada "esfera de Bloch"). Hemos mostrado aquí cómo hacer rotaciones alrededor del $x$y $y$ejes en ese espacio esférico imaginario.

Para hacer rotaciones sobre el$z$eje, simplemente cambia el espacio de energía entre los niveles. En este punto, apuesto a que puede calcular exactamente cómo funciona usando el formalismo presentado anteriormente.

En el caso de las transiciones de electrones entre varios orbitales atómicos, la física es exactamente como se presenta aquí. Por lo general, la fuerza proviene del campo eléctrico de un láser o generador de RF que actúa sobre el electrón cargado. Si la frecuencia del campo láser o de RF coincide con una de las transiciones del electrón, es decir,$\omega_{\text{drive}} \approx \Delta E/\hbar$, entonces el argumento del marco rotatorio presentado aquí demuestra que el electrón oscilará entre los dos niveles involucrados en esa transición.

Tarea: Calcular explícitamente el propagador inducido por el$H_r$encontramos.

Nota: La aproximación de onda giratoria es buena siempre que la frecuencia de rotación alrededor de la esfera de Bloch inducida por el accionamiento sea menor que$|E_1 - E_2|/\hbar$.