¿Cómo llegaron a saber Gandalf y Mordor sobre Gollum?

En el libro, Gandalf sabe sobre Gollum porque Bilbo le dijo a la compañía, aunque al principio ocultó información sobre el Anillo:

Entonces quisieron saber todo sobre sus aventuras después de haberlo perdido, y él se sentó y les contó todo, excepto sobre el hallazgo del anillo ("no solo ahora", pensó). Estaban particularmente interesados ​​en la competencia de acertijos y se estremecieron apreciativamente ante su descripción de Gollum. ( Fuera de la sartén, al fuego )

Finalmente, después del episodio de las Arañas ( Flies and Spiders ), Bilbo les cuenta todo a los Enanos (cabe señalar que Gandalf no forma parte de la compañía en este momento):

Allí se quedaron durante algún tiempo, resoplando y jadeando. puso muy pronto comenzaron a hacer preguntas. Tuvieron que explicarles cuidadosamente todo el asunto de la desaparición, y el hallazgo del anillo les interesó tanto que por un tiempo se olvidaron de sus propios problemas. Balin, en particular, insistió en contar la historia de Gollum, los acertijos y todo, nuevamente, con el anillo en su lugar.

En este momento, no puedo obtener una referencia en El Hobbit de cuando Bilbo le contó a Gandalf sobre su Anillo (aunque Gandalf sabía sobre Gollum como muestra mi primera cita), pero Gandalf evidentemente lo sabía, y lo supo bastante temprano, como se muestra en La Sombra . del pasado en El señor de los anillos:

Entonces escuché la extraña historia de Bilbo de cómo lo había "ganado", y no podía creerlo. Cuando por fin le saqué la verdad, vi de inmediato que había estado tratando de dejar fuera de toda duda su derecho al anillo.

En cuanto a Sauron, no hay absolutamente ninguna evidencia de que Sauron supiera algo sobre Gollum y la posesión del Anillo por parte de Gollum antes de la entrada de Gollum en Mordor, pero después de eso lo descubrió lo suficientemente rápido; otra vez de Shadow of the Past :

'Pero me temo que no hay duda posible: había hecho su camino lento y sigiloso, paso a paso, milla a milla, hacia el sur, hasta finalmente llegar a la Tierra de Mordor'...

'¡Miserable tonto! En esa tierra aprendería mucho, demasiado para su comodidad. Y tarde o temprano, mientras acechaba y husmeaba en las fronteras, sería atrapado y llevado para examinarlo. Así fue, me temo. Cuando lo encontraron, ya había estado allí mucho tiempo y estaba de regreso. En alguna misión de travesura. Pero eso no importa mucho ahora. Su peor travesura estaba hecha.

'Sí, ¡ay! a través de él, el Enemigo ha sabido que el Uno ha sido encontrado de nuevo. Sabe dónde cayó Isildur. Sabe dónde encontró Gollum su anillo. Sabe que es un Gran Anillo, porque dio larga vida. Sabe que no es uno de los Tres, porque nunca se han perdido y no soportan ningún mal. Sabe que no es uno de los Siete, o de los Nueve, porque están contabilizados. Él sabe que es el Uno. Y creo que por fin ha oído hablar de los hobbits y la Comarca .

Entonces sí, Gollum simplemente entró en Mordor.

Su investigación en Minas Tirith fue más bien al revés. Como han dicho las otras respuestas, Gandalf sabía sobre Gollum de Bilbo. Sospechaba que el anillo de Gollum era poderoso. Al atrapar a Gollum e interrogarlo, Gandalf comenzó a sospechar que el anillo de Bilbo podría ser el Único y descubrió dónde lo había encontrado Gollum. Fue a Minas Tirith porque lo último que supo del Uno fue que Isildur lo tomó. Estaba tratando de relacionar el hallazgo de Gollum con la última ubicación conocida del Anillo Único y lo logró.

En la operación, mencionaste a Gandalf diciendo que Gollum lo había llamado precioso. Eso es falso. Dijo que ha sido llamado así antes, pero no por ti. No tenía forma de saber que Gollum lo llamaba precioso, había leído que Isildur decía que era precioso para él.