¿Cómo interpretar la definición de función de autocorrelación óptica para campo eléctrico?

La palabra correlación se refiere a la similitud que existe cuando se compara con un objeto. Entonces , la autocorrelación se refiere a la similitud de un objeto consigo mismo. Sin embargo, eso suena tonto, ¿por qué un objeto no sería similar a sí mismo? Entonces, lo que significa en el contexto de las funciones es la medida en que esta función es similar a las versiones modificadas de sí misma. Se determina matemáticamente (para funciones de energía finita deterministas de valor real$g(t)$) por cálculo

$$R_f(\tau) = \int_{-\infty}^{\infty} g(t) g(t+\tau)\ dt .$$ La función de autocorrelación es siempre la más grande en el origen $R_f(0)\geq R_f(\tau)$y es simetrico $R_f(-\tau)=R_f(\tau)$. Entonces, como es de esperar, la similitud más alta se encuentra sin cambios.

[Aparte, tenga en cuenta que esto difiere de la convolución , que se define por

$$C_f(\tau) = \int_{-\infty}^{\infty} g(t) g(\tau-t)\ dt . ]$$

¿Qué sucede cuando las funciones no son funciones de energía finita, como en el caso de señales de potencia finita? Entonces la primera expresión estallaría. Entonces usamos un proceso de límite

$$R_f(\tau) = \lim_{T\rightarrow\infty} \frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2} g(t) g(t+\tau)\ dt .$$

Si la función no tiene un valor real, entonces necesitamos incorporar un conjugado complejo para cuidar la fase, lo que de otro modo conduciría a una interferencia destructiva.

$$R_f(\tau) = \lim_{T\rightarrow\infty} \frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2} g(t) g^*(t+\tau)\ dt .$$

¿Qué pasa si no es una función determinista, sino una función aleatoria? En ese caso, necesitamos definir un proceso aleatorio y calcular el promedio del conjunto

$$R_f(\tau) = \langle g(t) g^*(t+\tau) \rangle .$$ Se puede pensar en el conjunto como un gran conjunto de funciones aleatorias que comparten las mismas propiedades destacadas. El promedio del conjunto es entonces una suma $$R_f(\tau) = \frac{1}{N}\sum_n^N g_n(t) g_n^*(t+\tau) .$$

Si el conjunto es ergódico , entonces se puede reemplazar el promedio del conjunto con la expresión integral anterior aplicada a solo uno de los elementos del conjunto.

Esta es la teoría básica en pocas palabras y se puede aplicar al campo eléctrico de una onda óptica. Los campos eléctricos físicos son funciones de valor real, pero a menudo se asume que son complejos por conveniencia computacional, entendiendo que uno puede relacionar el resultado así obtenido con lo que se obtendría con funciones de valor real.

Hay varias formas de ver la motivación para la conjugación compleja de uno de los$E$'s en la definición de la función de autocorrelación. Una forma es considerando la$\tau \to 0$límite. En este caso obtenemos

$$\Gamma({\bf r}, \tau = 0) = \lim_{T \to \infty} \frac{1}{2 T} \int_{-T}^T |{\bf E}(r, t)|^2 dt = \left \langle |{\bf E}(r, t)|^2 \right \rangle,$$ donde los paréntesis angulares indican un promedio de tiempo. Si tampoco complejizamos-conjugamos $E$en la definición, entonces en su lugar obtendríamos $\left \langle {\bf E}(r, t)^2 \right \rangle$. Para una onda plana simple, esta cantidad promediaría a cero en el tiempo porque obtendríamos una interferencia destructiva del factor de fase oscilante. Pero claramente cualquier función debería tener intuitivamente una correlación consigo misma distinta de cero en el mismo punto del espacio-tiempo, por lo que esta definición no sería muy natural.

Otra motivación más abstracta es que la conjugación compleja está muy relacionada con la inversión del tiempo (por ejemplo, para ondas planas que oscilan periódicamente en el tiempo como$E_0({\bf r})\, e^{-i \omega t}$, son equivalentes), en términos generales,$E^*(t)$"te lleva de vuelta" por un tiempo$t$, y$E(t + \tau)$"te lleva adelante" por un tiempo$t + \tau$, por lo que el resultado neto de su producto es "avanzar en el tiempo" en una cantidad$\tau$, como esperaríamos intuitivamente para una función de autocorrelación. (Esta explicación probablemente solo tenga sentido para aquellos familiarizados con la imagen de Heisenberg de la mecánica cuántica).

La conjugación es una forma meramente operativa de anular las partes imaginarias. Siempre que multipliques dos números complejos, debes tener cuidado y conjugar uno de ellos si tu objetivo es trabajar solo con la parte real.

Como tú sabes,$\vec{E}$es una función vectorial real. Agregamos la parte imaginaria solo por simplicidad$E\propto \cos \phi \ \rightarrow E\propto (\cos \phi + i \sin \phi)\equiv e^{i\phi}$.

De hecho, deberíamos escribir la integral como

$\int \Re e({\vec{E}(t+\tau))} \cdot \Re e({\vec{E}})\ dt$

Pero eso es tedioso porque hay muchos cosenos multiplicados y nos obliga a usar identidades trigonométricas. Es mucho más fácil usar números complejos, para lo cual simplemente agregamos un seno sin sentido de la misma función sumando. Como las integrales y las derivadas son lineales, no hay problema con eso, pero los productos requieren tomar partes reales o conjugar una. Ambos producen el mismo resultado.

Ahora, si la pregunta es por qué tomamos la integral de

$\Re e({\vec{E}(t+\tau))} \cdot \Re e({\vec{E}})\ dt$

Se refiere a un teorema de "teoría de estadística y probabilidad", por el cual si dos variables son realmente aleatorias, entonces

$\overline{(A\cdot B)}= \bar{A}\bar{B}$

donde la barra indica la media. Eso sucede si la covarianza es 0. En consecuencia, el producto dentro de la integral nos dice sobre la covarianza entre esos dos valores y, en consecuencia, sobre la correlación.