¿Cómo es que el uso de un estado Bell conduce a una probabilidad cos(18π)cos⁡(18π)\cos \left(\frac{1}{8}\pi \right) de ganar en el juego CHSH?

$\newcommand{\ket}[1]{\left|#1\right>}$

De hecho, la historia de$\cos\frac{\pi}{8}$, no se dice a menudo, excepto en la lección de mecánica cuántica, e incluso allí, a menudo se deja como "ejercicio para el lector". Este número no es obvio a primera vista, pero es el resultado de una optimización y una aplicación directa de las reglas de cálculo de la mecánica cuántica. Lo que aparentemente le falta a su descripción para encontrarlo es la descripción de las medidas.

Para mantener las cosas (relativamente) simples, asumiré que tratamos con fotones individuales enredados en polarización, y solo consideraré la polarización lineal. Denotar por$α$(reps.$β$) el ángulo que define la medida de Alice (resp. Bob). Medición de la polarización de un solo fotón en una dirección$α$, es una medida binaria, dando$0$si el fotón está orientado a lo largo$α$, y$1$si está orientado a lo largo$α+\frac{π}{2}$. Medir a lo largo de esta dirección es equivalente a rotar primero el fotón en un ángulo$-α$, y luego medirlo en el vertical-horizontal (también conocido como$α=0$) base. Esta rotación es una transformación lineal, transformando el estado de Alice de la siguiente manera:

$$\ket{0}:↦\cosα\ket0 - \sinα \ket1$$ $$\ket{1}:↦\sinα\ket0 + \cosα \ket1$$ Los estados de Bob se transforman de manera similar, lo que lleva, para el estado global, a $$\frac{\ket{00}+\ket{11}}{\sqrt2}:↦\\(\cosα\cosβ+\sinα\sinβ)\frac{\ket{00}+\ket{11}}{\sqrt2}+(-\cosα\sinβ+\sinα\cosβ)\frac{\ket{01}-\ket{10}}{\sqrt2}$$

Para encontrar la medida óptima para el juego CHSH, debe optimizar los posibles conjuntos de ángulos.$(α,α',β,β')$. Por supuesto, ser inteligente y conocer fórmulas trigonométricas ayuda en esta optimización. (Sabiendo que la respuesta es$(0,\frac{π}{4},\frac{π}{8},\frac{3π}{8})$también ayuda!).

Siguiendo los hábitos del campo, dejo el cómputo completo como ejercicio al lector ;-).

Por cierto, esto solo muestra que el juego CHSH se puede ganar con una tasa de éxito del 85% con el entrelazamiento cuántico. El hecho de que uno no pueda hacerlo mejor se conoce como el límite de Tsirelson e implica álgebra lineal.

notas al pie

¹: *Si fuera más obvio, muchas discusiones sobre la naturaleza del enredo podrían haber ocurrido mucho antes de la década de 1960 *