¿Cómo calcular la fuerza de gravedad que quiere hacer colapsar una estrella?

El concepto básico aquí es el de equilibrio hidrostático .

Si considera una losa delgada de material de densidad$\rho$y espesor$\Delta r$en la estrella Tiene una presión de$P$debajo de la losa y una presión$P + \Delta P$por encima de la losa. El peso de la losa será$\rho g A \Delta r$, dónde$A$es el área cubierta por la losa y$g$es el valor local de la gravedad. Para mantener la losa en equilibrio, debe equilibrar este peso con la fuerza ejercida hacia arriba sobre la losa debido a la diferencia de presión entre la parte superior e inferior. es decir

$$\rho g\ A\ \Delta r = -\Delta P\ A$$ De este modo $\rho g\ \Delta r = -\Delta P$y como $\Delta r \rightarrow 0$, podemos decir $$\frac{dP}{dr} = -\rho(r) g(r) = - \rho \frac{GM(<r)}{r^2},$$ dónde $\rho(r)$y $g(r)$son funciones de radio dentro de la estrella y $M(<r)$es la masa contenida dentro del radio $r$.

Para resolver esta ecuación diferencial se requiere una solución autoconsistente de las ecuaciones de estructura estelar (que involucran las ecuaciones de generación y transporte de energía), ya que la presión también depende de la temperatura y la composición.

Para avanzar con esto de una manera poco convencional, se requieren algunas grandes simplificaciones, a saber, una suposición acerca de cómo la densidad depende del radio. Si asumimos que la densidad es constante (horrible, pero da las proporcionalidades correctas) entonces

$$\frac{dP}{dr} = - \frac{G \rho}{r^2} \frac{4\pi}{3} \rho r^3$$ $$\int^{0}_{P(r)} dP = - \frac{4\pi G \rho^2}{3} \int^{R}_{r} r\ dr,$$ dónde $P=0$en la superficie de la estrella donde $r=R$.
$$P(r) = \frac{2\pi G \rho^2}{3} (R^2 - r^2)$$

Entonces podríamos poner esto en términos de la masa de la estrella.$M$al notar que$\rho =3M/4\pi R^3$

$$P(r) = \frac{2\pi G}{3}\left(\frac{3M}{4\pi R^3}\right)^2 (R^2 - r^2) = \frac{3G}{8\pi}\left(\frac{M^2}{R^4}\right)\left(1 -\frac{r^2}{R^2}\right),$$ y la presión central (en $r=0$) sería $$P(0) = \frac{3G}{8\pi} \left(\frac{M^2}{R^4}\right)$$

La proporcionalidad es correcta aquí, pero la comparación con una estrella real, como el Sol, revela que mientras que la presión promedio es razonable, la presión central es un par de órdenes de magnitud demasiado baja, porque la densidad del Sol no es constante: la presión y la densidad son mucho mayores en el centro.

Lo que estás pidiendo es algo llamado colapso gravitacional.

El colapso gravitacional es la condensación de un objeto astronómico debido a la influencia de su propia gravedad, que tiende a atraer la materia hacia el centro de masa. El colapso gravitacional es un mecanismo fundamental para la formación de estructuras en el universo. Con el tiempo, una distribución inicial de materia relativamente suave colapsará para formar bolsas de mayor densidad, creando típicamente una jerarquía de estructuras condensadas como cúmulos de galaxias, grupos estelares, estrellas y planetas.

Referencia: https://en.wikipedia.org/wiki/Gravitational_collapse

Para obtener una respuesta más matemática , consulte el término de presión en la ecuación de Einstein aquí: http://math.ucr.edu/home/baez/einstein/node6.html

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Misa de Jean

El concepto de la masa de Jean como masa crítica para el colapso en una estrella es un concepto importante. La "masa de Jean" es la masa mínima que puede superar la presión de radiación para una densidad de energía dada en radiación.

teorema virial

La gravedad se puede aplicar a una colección finita de partículas que interactúan entre sí por atracción gravitatoria. Podemos atribuir al conjunto de partículas una energía potencial gravitatoria total y una energía cinética total. El teorema del virial establece que

Energía cinética media =$\boldsymbol {-\frac {1}{2} \times}$ Energía potencial media

Una aplicación de este teorema sería a una masa conocida de gas hidrógeno en una protoestrella. Si tuviera una buena estimación de la masa del gas y pudiera medir una muestra de las velocidades de las partículas para determinar la energía cinética, podría predecir la energía cinética a medida que la nube de gas sufriera un colapso gravitacional. Entonces, para un radio de colapso dado, podría hacer una predicción de la temperatura del gas hidrógeno en términos de energía cinética y podría hacer una predicción sobre cuándo alcanzaría la temperatura de ignición para la fusión del hidrógeno.