¿Cómo encontrar el radio de un planeta dada su composición interna?

Versión corta: el segundo planeta (misma masa total) tendrá un radio mayor que el primero, a menos que el núcleo del segundo planeta sea más grande (en masa) que el primero.

Esto tiene mucho sentido si lo piensas. El núcleo más pequeño tiene que tener mucho más material exterior más ligero para formar la masa total. El núcleo más grande necesita menos para hacer el mismo radio.

Las horribles matemáticas :-)

Lo que tienes es esto:

$$M_1 = \frac 4 3 \pi \left[ \sigma_a r_{a1}^3 + \sigma_b(r_1^3-r_{1a}^3) \right]$$

$$M_2 = \frac 4 3 \pi \left[ \sigma_a r_{a2}^3 + \sigma_b(r_2^3-r_{2a}^3) \right]$$

Donde el$a$subíndice se refiere al núcleo de hierro y$b$al material restante.

Sabes que las masas son iguales, entonces podemos igualar estas dos masas.

También conocemos las masas relativas de los núcleos:

$$\frac{M_{1a}}{M_{2a}} = \frac{0.3}{0.5} = 0.6 = \frac {r_{1a}^3}{r_{2a}^3}$$

Así que conocemos la relación de los radios de los núcleos, y voy a llamar a eso$x$por conveniencia, aunque en realidad es$0.6^{\frac 1 3} = 0.8434$. voy a llamar$y=r_{1a}$(para guardar mi escritura).

Para simplificar, vamos a utilizar todos los radios relativos a$r_1$que estamos configurando$1$.

$$\sigma_a y^3 + \sigma_b (1-y^3) = \sigma_a (xy)^3+\sigma_b(r_2^3-(xy)^3)$$

Sabemos$x, \sigma_a$y$\sigma_b$. No sabemos los valores de$y = r_{1a}$y$r_2$.

Entonces obtenemos para el radio del segundo planeta:

$$r_2^3 = \frac 1 {\sigma_b} \left[ \sigma_a y^3 + \sigma_b (1-y^3) - \sigma_a (xy)^3 + \sigma_b (xy)^3 \right]$$

O

$$r_2^3 = \frac 1 {\sigma_b} \left[ y^3 \left( \sigma_a - \sigma_b - \sigma_a x^3 + \sigma_b x^3 \right) +\sigma_b\right]$$

$$r_2^3 = \frac 1 {\sigma_b} \left[ y^3 (1-x^3) \left( \sigma_a - \sigma_b\right) +\sigma_b\right]$$

Tu preguntaste :

Es lógico pensar que este planeta será más pequeño que el anterior

Lo que esto se traduce es si$r_2<1$(porque establecemos$r_1=1$por conveniencia).

Entonces esto requiere:

$$y^3 (1-x^3) ( \sigma_a - \sigma_b )<0$$

Es decir, requiere el radio del núcleo del primer planeta ($y=r_{1a}$) sea menor que cero, lo que por supuesto es imposible, lo que significa que el radio del segundo planeta siempre es mayor.

Para hacer el segundo planeta más pequeño necesitas tener:

$$1-x^3 = 1 - \frac{{r_{1a}}^3}{{r_{1b}}^3} < 0$$

Y eso requiere:

$$r_{1b} > r_{1a}$$

O que el radio (y por lo tanto la masa) del núcleo del segundo planeta es mayor que el del primer planeta.

El planeta con el núcleo más pequeño tiene el radio más grande si sus masas totales son iguales.

También puede "arreglar" esto si la densidad del núcleo ($\sigma_a$) era menor que la densidad exterior ($\sigma_b$), pero eso no es físicamente realista.

Zeng et al. (2015) " Relación masa-radio para planetas rocosos basada en PREM " podría serle útil.

Dan la siguiente ecuación:

$$\frac{R}{R_\oplus} = \left(1.07 - 0.21 \cdot \mathrm{CMF}\right) \cdot \left(\frac{M}{M_\oplus}\right)^{1/3.7}$$

Dónde$R$y$M$son el radio planetario y la masa respectivamente,$R_\oplus$y$M_\oplus$son el radio y la masa de la Tierra respectivamente, y CMF es la fracción de masa del núcleo (es decir, el porcentaje en masa de hierro). Afirman que esta ecuación es válida entre ~1 y ~8 masas terrestres y para CMF entre 0 y 0,4.

Si desea salirse de este rango, puede interpolar los valores de la tabla 2 del documento, que se extiende desde 0,125 hasta 32 masas terrestres y las fracciones de hierro desde el 100 % hasta el 0 %. La tabla también incluye planetas de dos capas que contienen agua y silicatos.

Enfoque más simple (sin 𝜋 para ti)

Suponga que la densidad de la sílice es 1 y la densidad del hierro es 3:

• La densidad del segundo planeta será 1*50% + 3*50% = 2.0
• La densidad del primer planeta será 1*70% + 3*30% = 1,6
• La relación de sus densidades será 2.0 / 1.6 = 1.25
• La relación de sus volúmenes será 1/1,25 = 0,8
• La razón de sus radios será la raíz cúbica de .8, que es .928

Es decir, el radio del segundo planeta, más denso, será un 7,2% más pequeño que el del primero.