¿Cómo empezar a derivar ecuaciones longitudinales de movimiento para un avión?

Espero que este sea un lugar relevante para hacer una pregunta matemática sobre el diseño de aeronaves.

Estoy tratando de entender cómo se implementaría un controlador para controlar el ángulo de cabeceo de un avión para un pequeño ejercicio. Entiendo la parte de control y su implementación. Lo que no entiendo es cómo se adquieren las ecuaciones longitudinales de los movimientos (que luego se usan para la parte de control) que sirven como punto de partida. ¿Cuál es el punto de partida o cuáles son los principios utilizados para derivar estas ecuaciones? Si sé cómo derivar estas ecuaciones para un caso muy simple, entonces sé que tengo que linealizar las ecuaciones y luego aplicarle la teoría de control.

Por ejemplo, ¿cómo son los lados izquierdo y derecho de la ec. 4.70 de las pp. 164 del siguiente libro se deriva libro?

Agradeceré una explicación sencilla del caso anterior.

Editar:

  1. Adjunto dos capturas de pantalla de dos conjuntos de ecuaciones de dos fuentes. Los enlaces a los libros se incluyen a continuación. Ambas fuentes afirman que se trata de ecuaciones de movimiento longitudinales, aunque su forma general difiere entre sí.
  2. Creo que entendí un punto: estas ecuaciones se derivaron considerando el movimiento de traslación en los planos x y z y la rotación sobre el eje y (así se indica en el primer libro). A partir de entonces, no entiendo el procedimiento.

1er conjunto de ecuaciones del libro 1: ingrese la descripción de la imagen aquísegundo conjunto de ecuaciones de la fuente 2:ingrese la descripción de la imagen aquí

libro 1: pág. 164 de Morris, Introducción a la mecánica de vuelo de aeronaves: rendimiento, estabilidad estática

fuente 2: página 3 de esta nota en línea

No estoy seguro, pero este documento en el sitio web de la NASA puede ayudar. Al menos explican sus unidades.
Por favor incluya las ecuaciones en su pregunta. Probablemente pueda ayudarte, pero como no tengo el libro, hay poco para empezar.
@ user1420 las dos cosas que me vienen a la mente son la fórmula de estabilidad longitudinal y la primera derivada de la fórmula de estabilidad longitudinal, ¿es una de estas?
Parece que no puedo ver la ecuación desde el enlace del libro que has proporcionado. ¿Podría proporcionar una imagen o escribirla?
Creo que un controlador PID con paso o velocidad vertical como entrada y desplazamiento/recorte del elevador como salida con un poco de ajuste experimental es lo suficientemente bueno sin necesidad de ningún modelo. Los primeros pilotos automáticos eran controladores aún más fáciles; IIRC había un piloto automático rudimentario en los bombarderos de la Segunda Guerra Mundial, que tenía que ser un dispositivo analógico simple.
@ Jan Hudec, iba a hacer lo contrario de lo que mencionas: usar el desplazamiento del elevador como entrada y el tono como salida. Sin embargo, gracias por su sugerencia sobre el enfoque PID. Dado que esto es más un ejercicio de aprendizaje para mí, también probaré esto.
@Manfred, según tengo entendido, es la ecuación de movimiento longitudinal. Por favor, vea las imágenes que agregué.
Por favor, vea las imágenes de las ecuaciones que agregué más adelante.
¿puedo sugerir que la etiqueta no es la más apropiada?
@ user1420 estoy trabajando en una respuesta, espero que sea del nivel suficiente. Mientras tanto, si deja su correo electrónico en el chat ( chat.stackexchange.com/rooms/12036/the-hangar ), puedo enviarle algunas diapositivas de conferencias, etc.
@Manfred, envíeme un correo electrónico con cualquier recurso que tenga: achand007 (arroba) gmail (punto) com
No entiendo por qué esto tiene una votación cerrada, es bastante claro sobre el tema.

Respuestas (2)

Nota: ¡Respuesta en curso!

Parte 1 (Desafortunadamente, solo estoy familiarizado con el n. ° 1 y el n. ° 3 en este momento, no con el n. ° 2)

(Nota al pie: esto podría ser un poco más simple que su caso, pero con suerte podrá llenar los espacios restantes)

efectivo

A partir de esto, puede aumentar las fuerzas según la dirección de la velocidad o el vector de elevación. Haciendo esto horizontalmente, obtienes la ecuación 1, y de la misma manera para la dirección vertical, tu ecuación 3.

Para hacer esto más simple de manejar, usamos la aproximación de ángulo pequeño, considere porque ⁡ ( 0 ) = 1 y pecado ⁡ ( 0 ) = 0 . Esto se simplifica a:

V : 0 = T − D

L : 0 = metro gramo − L

(es decir, empuje igual a arrastre, elevación igual al peso)

Parte 2:

Estas son básicamente las ecuaciones de un diagrama cinético del diagrama de cuerpo libre anterior, donde puede haber un cambio en la velocidad del aire o en la altitud. Lo que dice su segunda ecuación es que el exceso de empuje (TD, Thrust-Drag) puede:

  • utilizarse para aumentar la altitud: metro × gramo × pecado ⁡ ( y )

y/o

  • utilizarse para aumentar la velocidad aerodinámica: metro × v

Depende de lo que quieras decir con "derivar las ecuaciones". Si realmente quiere decir que quiere llegar a esa formulación a partir de lo básico, bueno, comience con el viejo Newton:

F → = metro A →

y el equivalente para momentos ( → indica vectores).

En este punto, necesita un sistema de referencia en el que descomponer sus ecuaciones vectoriales (ejes de estabilidad fijos en el cuerpo, fijos en la tierra: la elección influye en qué términos podrá simplificar más adelante) y una descripción de su sistema: qué fuerzas se aplican en el avión? ¿Cómo puedo describirlos como funciones del estado de la aeronave?

En este punto, sustituyes en tu ecuación original y continúas con el cálculo.

Puede consultar estas diapositivas de conferencias para ver paso a paso cómo se puede hacer. Clases 8 y 9 para el caso general de 6DoF y clases 11 para su pregunta en particular.

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