¿Cómo calculo la sección transversal diferencial con respecto al momento transversal?

Question

¿Cómo calculo la sección transversal diferencial con respecto al momento transversal?

Física
partículas fisicas
gran colisionador de hadrones
sección transversal de dispersión

Shawn Hellman

En primer lugar, lo siento por mi inglés, mi primer idioma es el alemán.

Mi problema es: calculé el elemento de matriz del proceso quark-gluon-Compton (q+g -> gamma + q). Con la cinemática de dispersión en el marco del centro de masa, pude calcular dsigma/dt. Esta sección transversal diferencial solo depende de las variables de Mandelstam. Más adelante debo incluir las funciones de distribución de partones para calcular la sección transversal diferencial (con una simulación de Monte Carlo). Mi resultado final debería ser la sección transversal diferencial con respecto al momento transversal del fotón directo.

Entonces, ¿cómo transformo mi dsigma/dt a dsigma/dp sin incluir los archivos PDF? Quiero saber cómo realizo esta tarea en general antes de jugar con los PDF.

¡Gracias a todos!

Motl de Luboš

El resultado depende de las variables de Mandelstam, como escribiste, pero son

s, t, u

$s,t,u$ y al menos dos de ellos,

s, t

$s,t$ , son independientes, ¿verdad? Entonces, ¿por qué solo hablas de

d t

$dt$ y no

d s

$ds$ ? Creo que al final, está calculando el proceso a nivel de partón, por lo que PDF no ingresa en absoluto, como lo anticipó correctamente u optimistamente, y

s, t

$s,t$ así como

p, E

$p,E$ (?) describe propiedades de las partículas elementales (y partones) y hay una transformación simple de unas variables a otras, ¿no?

Shawn Hellman

solo hablo de

d t

$dt$ porque derivé la sección transversal diferencial de esta manera. La fórmula general para un problema de dispersión de 2->2 cuerpos es:

\frac{d σ}{d t} = \frac{1}{64 π s p_{i}^{2, *}} | M |^{2}

$\frac{d\sigma}{dt} =\frac{1}{64 \pi s p_i^{2,*}} |M|^2$ . Pero como puedo transformar

\frac{d σ}{d t}

$\frac{d\sigma}{dt}$ a

\frac{d σ}{d p_{t}}

$\frac{d\sigma}{dp_t}$ . Pero mientras escribía estas líneas tengo una idea. Lo intentaré. Gracias por tu respuesta.

Shawn Hellman

Bien, probé varios métodos, pero no tengo ni idea.

Respuestas (1)

¿Cómo calculo la sección transversal diferencial con respecto al momento transversal?

El resultado depende de las variables de Mandelstam, como escribiste, pero son $s,t,u$ y al menos dos de ellos, $s,t$ , son independientes, ¿verdad? Entonces, ¿por qué solo hablas de $dt$ y no $ds$ ? Creo que al final, está calculando el proceso a nivel de partón, por lo que PDF no ingresa en absoluto, como lo anticipó correctamente u optimistamente, y $s,t$ así como $p,E$ (?) describe propiedades de las partículas elementales (y partones) y hay una transformación simple de unas variables a otras, ¿no?
solo hablo de $dt$ porque derivé la sección transversal diferencial de esta manera. La fórmula general para un problema de dispersión de 2->2 cuerpos es: $\frac{d\sigma}{dt} =\frac{1}{64 \pi s p_i^{2,*}} |M|^2$ . Pero como puedo transformar $\frac{d\sigma}{dt}$ a $\frac{d\sigma}{dp_t}$ . Pero mientras escribía estas líneas tengo una idea. Lo intentaré. Gracias por tu respuesta.

Motl de Luboš · Answer 1

El proceso se discute a nivel de parte, tanto en la forma inicial como en la forma deseada, por lo que la conversión no puede depender de los PDF.

Ahora, la variable Mandelstam $t$ es igual a

t = ({pag}_{1}^{m} - {pag}_{3}^{m})^{2} = {metro}_{1}^{2} + {metro}_{3}^{2} - 2 {mi}_{1} {mi}_{3} + 2 {\vec{pag}}_{1} \cdot {\vec{pag}}_{3}

$t = (p^\mu_1 - p^\mu_3)^2 = m_1^2+m_3^2 -2 E_1 E_3 +2 \vec p_1\cdot \vec p_3$ en la convención métrica "principalmente menos". Las masas de las partículas son fijas y la energía total viene dada por el estado inicial. Necesitamos encontrar una relación entre

t

$t$ y el momento transversal

p_{t}

$p_t$ y entre sus diferenciales. El producto interno de los 3 vectores es la clave para la división transversal/longitudinal:

{\vec{pag}}_{1} \cdot {\vec{pag}}_{3} = {pag}_{1}^{L} {pag}_{3}^{L} + {\vec{pag}}_{1}^{T} \cdot {\vec{pag}}_{3}^{T}

$\vec p_1\cdot \vec p_3 = p_1^L p_3^L + \vec p_1^T\cdot \vec p_3^T$ El estado inicial tiene

{\vec{p}}_{1, 2}^{T} = 0

$\vec p^T_{1,2}=0$ por lo que el segundo término puede eliminarse. Por otro lado, la única cantidad dependiente del ángulo de dispersión es

{pag}_{3}^{L} = \sqrt{{pag}_{3, metro a X}^{2} - ({pag}_{3}^{T})^{2}}

$p_3^L = \sqrt{p_{3,\rm max}^2 - (p_3^T)^2}$ Entonces

t = {metro}_{1}^{2} + {metro}_{3}^{2} - 2 {mi}_{1} {mi}_{3} + 2 {pag}_{1}^{L} \sqrt{{pag}_{3, metro a X}^{2} - ({pag}_{3}^{T})^{2}}

$t = m_1^2+m_3^2-2E_1E_3+2 p_1^L \sqrt{p_{3,\rm max}^2 - (p_3^T)^2}$ Esta es una relación entre

t

$t$ y

p^{T}

$p^T$ y puedes diferenciarlo para encontrar la relación entre

d t

$dt$ y

d p^{T}

$dp^T$ . Es necesario realizar muchos cálculos poco perspicaces y creo que usted debe hacerlo al final.

Lucho con la comprensión de la segunda y tercera ecuación. ¿De dónde vienen? Por cierto. Gracias por tu respuesta.
@ShawnHellmann escribe $\vec p_i=\vec p_i^L+\vec p_i^T$ con $\vec p_i^L\cdot \vec p_j^T=0$ .
Está bien, probé esto. Me refiero a tu última ecuación: $\frac{d\sigma}{d p_3^T} = \frac{d\sigma}{dt} \frac{dt}{dp_T^3}$ . Ahora: $\frac{dt}{dp_T^3} = 2p_1^L \frac{1}{2 \sqrt{p_3^2-p_3^{T,2}}}\cdot (-2 p_3^T)$ . Pero esto es cero, ¿no? ¿Y por qué puedo reemplazar $p_3^L$ en tu segunda ecuación. No es un vector. como hago para asegurarme de que $\vec p_1^L \vec p_3^L = p_1^L p_3^L$ sostiene?
La última igualdad sigue tautológicamente porque si define las partes longitudinales de los 3 vectores como vectores, son vectores unidimensionales, por lo que el producto interno de los vectores es el mismo que el producto de los "únicos componentes". No, la derivada de $t$ con respecto a $p^T$ seguramente no es cero.
bien, eso está claro ahora. Pero, ¿dónde está mi problema al pensar? ¿Depende la energía del impulso? Edito: oooohhh. Relación energía-momento de la relatividad especial. ¿Funciona entonces?
Disculpa, Shawn, podrías obligarme (o a alguien más) a resolver el problema completo, pero creo que si eso sucede, solo podría usarse para hacer trampa. Realmente ya no te estoy ayudando. Realmente no debería tratar de resolver problemas complejos similares, como las parametrizaciones de la sección transversal diferencial, antes de estar lo suficientemente seguro acerca de las relaciones de dispersión relativistas, entre otras cosas más básicas. En todos estos problemas de 2 a 2, hay cuatro momentos que obedecen $p^2=m^2$ con lo obvio $m$ , y se mantiene la conservación de 4 impulsos. Uno tiene que estar seguro de estos asuntos antes de cosas más complejas.

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