¿Cómo calcular la energía cinética de la eyección de supernova?

Al observar supernovas, a menudo la mayor parte del material es ópticamente grueso, por lo que solo vemos las capas superficiales. Estos se mueven a cierta velocidad.$v_\mathrm{surf}$.

Al modelar supernovas, el modelo muy simplista que a todos les encanta usar es el de la expansión homóloga de un uniformemente denso (densidad$\rho$) esfera. Es decir, la velocidad del material aumenta linealmente con el radio desde$0$en el centro a$v_\mathrm{surf}$en la superficie (radio$R$).

La energía cinética es entonces

$$\begin{align} E & = \int\limits_\mathrm{ejecta} \frac{1}{2} \rho v^2 \,\mathrm{d}V \\ & = \frac{2\pi\rho}{R^2} v_\mathrm{surf}^2 \int_0^R r^4 \,\mathrm{d}r \\ & = \frac{2\pi}{5} \rho R^3 v_\mathrm{surf}^2 \\ & = \frac{3}{10} M_\mathrm{ej} v_\mathrm{surf}^2, \end{align}$$ donde la segunda línea utiliza los supuestos de densidad uniforme, simetría esférica y expansión homóloga ( $v = (r/R) v_\mathrm{surf}$), y la cuarta línea utiliza la masa total de eyección $M_\mathrm{ej} = (4\pi/3) R^3 \rho$.

La velocidad de la superficie quizás se llame más apropiadamente la velocidad fotosférica, ya que es aproximadamente a la profundidad de la fotosfera donde uno realmente mide la velocidad. Por supuesto, mirar diferentes líneas de diferentes elementos puede cambiar la definición de la fotosfera. Uno puede esperar que esto no sea un gran problema en el sentido de que la gran mayoría de la masa se encuentra dentro de cualquier definición razonable de la fotosfera. Incluso entonces, uno estaría suponiendo$\rho$es constante en todo el radio de la fotosfera para poder hacer el cálculo anterior, y esto claramente no puede ser válido para todas las fotosferas.

Uno también ve lo que he escrito como$v_\mathrm{surf}$llamada "velocidad de eyección". Simplemente se entiende que esta es la velocidad solo de las capas externas de la eyección.

Si desea una "velocidad efectiva", puede definirla mediante

$$\frac{1}{2} M_\mathrm{ej} v_\mathrm{eff}^2 = E,$$ llevando a $v_\mathrm{eff} = \sqrt{3/5} v_\mathrm{surf}$. Tenga en cuenta que este es solo el promedio en el sentido al cuadrado: $$v_\mathrm{eff}^2 = \frac{1}{M_\mathrm{ej}} \int\limits_\mathrm{ejecta} v^2 \rho \,\mathrm{d}V.$$ La media en el sentido lineal (útil para considerar el momento en lugar de la energía) es $$v_\mathrm{ave} = \frac{1}{M_\mathrm{ej}} \int\limits_\mathrm{ejecta} v \rho \,\mathrm{d}V = \frac{3}{4} v_\mathrm{surf}.$$