¿Cómo calcular la cantidad de tiempo nocturno durante un vuelo?

La respuesta a esta pregunta implica bastante trigonometría esférica . Llamar$(\lambda_1,\varphi_1)$la longitud y latitud del lugar de partida, y$(\lambda_2,\varphi_2)$las coordenadas del destino. Supongamos que el avión viaja a lo largo de un gran círculo. Entonces viajará un ángulo total$\theta$, dada por

$$\cos\theta = \sin\varphi_1\sin\varphi_2 + \cos\varphi_1\cos\varphi_2\cos(\lambda_2-\lambda_1).$$ Si $\theta$se expresa en radianes, entonces la distancia correspondiente es $D=\theta R_\oplus$, con $R_\oplus$el radio de la Tierra. Suponga que el tiempo total de vuelo es $T$, y que el avión vuela a una velocidad constante. Si $t$es el tiempo desde el despegue, entonces $$\begin{align} \theta_1 &= \theta t/T,\\ \theta_2 &= \theta -\theta_1, \end{align}$$ dónde $\theta_1$es el ángulo recorrido por el avión en el tiempo $t$, mientras $\theta_2$es el ángulo que el avión aún tiene que recorrer. En el momento $t$, el avión estará entonces sobre la ubicación $(\lambda,\varphi)$, dada por $$\begin{align} \cos\theta_1 &= \sin\varphi_1\sin\varphi + \cos\varphi_1\cos\varphi\cos(\lambda-\lambda_1),\\ \cos\theta_2 &= \sin\varphi_2\sin\varphi + \cos\varphi_2\cos\varphi\cos(\lambda-\lambda_2), \end{align}$$ a partir del cual $(\lambda(t),\varphi(t))$se puede derivar (después de algunos cálculos tediosos).

Si conocemos el tiempo solar medio verde $t_0$en el momento de la salida, entonces podemos obtener el ángulo horario $H_\odot(t)$del sol en$(\lambda(t),\varphi(t))$:

$$H_\odot(t) + 12^\text{h}=t_0 +t + \lambda(t)\qquad\text{(modulo $24^\text{h}$)},$$ donde todas las variables se expresan en horas, minutos y segundos (y $360^\circ$corresponde con $24^\text{h}$). También necesitamos saber la declinación del Sol. $\delta_\odot$durante el vuelo (por lo que necesitamos saber la fecha).

La altura del sol $a_\odot(t)$por encima del horizonte local es entonces

$$\sin a_\odot(t) = \sin\varphi(t)\sin\delta_\odot + \cos\varphi(t)\cos\delta_\odot \cos H_\odot(t)$$ (ver la página wiki sobre coordenadas celestes ). El atardecer y el amanecer se corresponden con $a_\odot=0^\circ$ en el suelo (ignorando la refracción atmosférica). Usando trigonometría simple, es fácil mostrar que desde la perspectiva del avión, a una altura $h$, la puesta y la salida del sol ocurrirán cuando $$a_\odot= -\cos^{-1}(R_\oplus/(R_\oplus+h)).$$

Una opción sería trazar el curso del vuelo como un conjunto de puntos discretos y verificar si es de día o de noche en cada punto del camino para determinar cuándo el vuelo entra o sale de la sombra de la Tierra. La precisión se limitará al tamaño de su incremento de tiempo, pero hacer una verificación de una vez por minuto en una computadora no debería ser un problema.

Para obtener un resultado de alta precisión, necesitaría programar en corredores de vuelo reales; pero para una estimación aproximada, asumir la ruta directa más corta probablemente sea suficiente en la mayoría de los casos.