¿Cómo calcular el tiempo necesario para que una nave espacial viaje un número determinado de metros en órbita elíptica o trayectoria hiperbólica?

Tenemos una órbita elíptica y una nave espacial que la recorre. Necesito una fórmula para calcular el tiempo necesario para que la nave espacial viaje una cantidad determinada de metros a partir de su posición actual.

Se conocen los elementos keplerianos de la órbita.

Si conozco la diferencia entre la anomalía verdadera actual y futura, puedo usar la fórmula del período orbital para calcular ese tiempo, pero ¿cómo encontrar la anomalía futura según la longitud de cuerda de elipse orbital dada (punto más cercano) y la anomalía verdadera inicial?

Y también necesito los mismos cálculos para la trayectoria hiperbólica.

No creo que haya ninguna fórmula de forma cerrada para la longitud del arco a lo largo de una elipse arbitraria, y es probable que tengas que obtener aproximaciones numéricas. ¿Qué es lo que planea hacer con este valor? Puede haber opciones mucho más simples que le den los resultados que desea.
@notovny Podemos reemplazar la longitud del arco por la longitud de la cuerda. ¿Es calculable?
Como punto de partida, lo que quieres es una integral elíptica incompleta del segundo tipo. Algunas herramientas (p. ej., Mathematica, MATLAB) proporcionan implementaciones. (La mayoría no). Este punto de partida proporcionará la longitud del arco de un momento a otro (alternativamente, con una formulación diferente, la longitud del arco de una anomalía verdadera a otra). Por eso escribí "punto de partida". Quiere la función inversa de una integral elíptica incompleta del segundo tipo. No conozco ninguna herramienta que proporcione eso.

Respuestas (1)

Para cualquier órbita no elíptica (por ejemplo, una órbita hiperbólica) o cuando la dinámica orbital no es solo dinámica de dos cuerpos con una sola masa puntual, necesitará un integrador numérico como un Runge-Kutta 89.

Puede usar el vector de velocidad local como una mala aproximación o suposición inicial de un enfoque de Newton Raphston si realmente no desea usar un integrador numérico, pero es probable que esa solución no sea buena.

La razón principal por la que la gente tiende a utilizar las herramientas astrodinámicas existentes es por la complejidad de implementar la mecánica orbital de forma correcta, precisa y rápida.

¿Será más fácil si reemplazamos la longitud del arco por la longitud euclidiana al punto (longitud de la cuerda)?
@Robotex, ¿qué tan precisa quiere que sea la respuesta? ciertamente podrías forzar algunos cálculos para obtener un número, pero a menos que seas muy cuidadoso, el número que encuentres será demasiado incorrecto para ser útil. Una forma en que recomendaría leer la respuesta de ChrisR es "incluso esta cosa aparentemente simple requiere un cálculo numérico serio. Aprenda a usar una herramienta existente que le dará buenas respuestas, en lugar de intentar escribir algo desde cero que nunca podrá probar minuciosamente."
@RyanC "Aprenda a usar una herramienta existente que le dará buenas respuestas" - No aprenderé nada en ese caso
@Robotex en ese caso, comience con la sugerencia de David Hammen sobre integrales elípticas, ya que eso le dará la solución exacta si la órbita fuera en realidad una elipse. Después de eso, comience a buscar la solución numérica de las ecuaciones de movimiento para medir la longitud de la curva que en realidad no es una elipse. Soy partidario del predictor-corrector Adams-Bashforth-Moulton, pero Runge-Kutta-Fehlberg o Dormand-Prince también son adiciones útiles a su caja de herramientas.
@Robotex, disculpas si así fue como apareció mi respuesta. Lo que traté de decir es usar un integrador numérico Runge Kutta 89 (o escribir uno si lo desea). Luego, escriba las ecuaciones de movimiento para la dinámica orbital usando coordenadas cartesianas (creo que los EOM de Keplerian fallarán con órbitas hiperbólicas debido a la SMA negativa, pero en cualquier caso, no son precisas). Luego, programe un esquema de interpolación (Hermite u otro) para interpolar la trayectoria. Finalmente, implemente un solucionador Brent para buscar en la trayectoria la anomalía verdadera deseada.
@RyanC Tengo curiosidad acerca de sus pensamientos sobre Adams Bashforth en comparación con Runge Kutta. Siempre he usado RK, pero podría convencerme de cambiar a Adams Bashforth. ¿No es un integrador implícito?
@ChrisR demasiado difícil para mi cerebro)
Los métodos de @ChrisR Adams son versiones polinómicas de varios pasos y de orden superior de los métodos de Euler hacia adelante y hacia atrás. Adams-Bashforth es el predictor explícito y Adams-Moulton es el corrector implícito. Tienen buenas propiedades de estabilidad incluso cuando dan pasos relativamente grandes, al menos en el tipo de ecuaciones que tenemos para las órbitas. Me metí en ellos porque eran la mejor herramienta que había implementado hasta ahora un paquete de software que alguna vez necesité usar. El libro que me convenció de seguir con ellos es Gerhard Beutler, Methods of Celestial Mechanics (2004), especialmente las secciones 7.4 y 7.5.
¿Puedes darme algún ejemplo?
@Robotex ¿un ejemplo de qué?
¿Cómo calcular el tiempo necesario para que una nave espacial viaje un número determinado de metros en órbita elíptica o trayectoria hiperbólica?
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