¿Cómo calcular el tamaño óptimo del agujero de alfiler?

No puedo resumir toda la teoría de la física óptica detrás del agujero de alfiler (¡principalmente porque no tengo el conocimiento adecuado!), Pero trato de explicar por qué hay diferentes valores para la constante C. Una de las razones por las que existen diferentes valores Ces el hecho de que falta un parámetro en el cálculo del diámetro óptimo del orificio. Vamos a referirnos al artículo de wikipedia que mencionaste:

Dentro de ciertos límites, un agujero de alfiler más pequeño (con una superficie más delgada por la que pasa el agujero) dará como resultado una resolución de imagen más nítida porque el círculo de confusión proyectado en el plano de la imagen es prácticamente del mismo tamaño que el agujero de alfiler. Sin embargo, un agujero extremadamente pequeño puede producir efectos de difracción significativos y una imagen menos clara debido a las propiedades de onda de la luz.

the purpose of C is to find a value that results in good trade off between sharpness and diffractionEsto significa Sin embargo, la determinación de este valor depende de otro factor y es la distancia del sujeto a la cámara.

Los círculos en la parte inferior muestran el efecto del tamaño del agujero de alfiler en la imagen resultante.

En la segunda figura, la línea discontinua (límite geométrico) es la resolución y la línea sólida es la difracción. Como puede ver, la difracción se ve afectada por θlo que es una función de la distancia al agujero de alfiler.

Habiendo dicho todo, en mi humilde opinión, la razón detrás de los diferentes valores para Ces el hecho de que se obtiene empíricamente y cada uno de ellos tenía un valor diferente para p(con referencia a la primera figura).

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Los gráficos se toman prestados de este archivo. Puede encontrar mucho sobre la física estenopeica en este documento.

PD: Eché un vistazo a la fuente de la mrpinhole.compágina y parece que están usando C=1.92.

PPS Mirando esos sitios web, parece que cada uno de ellos tiene un valor diferente para λy esto podría conducir a un valor diferente para C.

PPPS Estoy de acuerdo con el comentario de MarcinWolny de que un agujero perfectamente redondeado es mucho más importante.

La primera investigación de la constante derecha c que conozco es On the camera obscura de Petzval de 1859.. El documento trata principalmente sobre un nuevo diseño de lente que ha creado, pero comienza con una investigación del radio óptimo de un agujero de alfiler para la resolución de la imagen. La resolución se define como la capacidad de discernir la diferencia de dos objetos muy cercanos en la imagen. Si imaginamos los objetos como fuentes puntuales de luz, entonces podremos resolver que hay dos si los puntos de luz que proyectan en la imagen no se superponen sustancialmente. Por lo tanto, para determinar el poder de resolución de un agujero de alfiler, necesitamos determinar el diámetro de la imagen de una fuente de luz puntual. Si el agujero de alfiler es grande, la óptica clásica dice que el tamaño de la imagen es el mismo que el tamaño del agujero de alfiler. Si el agujero de alfiler es pequeño, la difracción hace que la imagen de una fuente puntual de luz a través de un agujero de alfiler consista en un punto central más brillante rodeado por una serie de anillos oscuros y claros concéntricos. Petzval crea una ecuación para el diámetro,D , del punto de luz central más grande proyectado a través de un agujero de alfiler que intenta tener en cuenta tanto la óptica clásica (agujeros "grandes") como la difracción (agujeros "pequeños"):

D = 2r + fλ/r

donde r es el radio del agujero de alfiler, f es la distancia focal y λ es la longitud de onda de la luz. Usando cálculo elemental, encuentra que el diámetro de la luz se minimiza cuando

r = sqrt{fλ/2}

o

D = sqrt{2} sqrt{fλ} = 1,414 sqrt{fλ} .

En 1891 Lord Rayleigh publica su primer Sobre la fotografía estenopeica (p. 493) donde propone

D = raíz cuadrada{2} raíz cuadrada{fλ}

basado en el cálculo de que con tal tamaño de agujero de alfiler, la diferencia de fase máxima entre dos rayos de luz no es más de λ/4 y, por lo tanto, no puede interferir sustancialmente de forma destructiva. Plantea esto como un buen criterio aproximado para el diámetro percibido de la imagen de una fuente puntual de luz a través de un agujero de alfiler. Habló de haber demostrado experimentalmente que este valor es bueno en la práctica.

En 1891, Lord Rayleigh publicó su segundo libro Sobre la fotografía estenopeica. En este artículo, critica el argumento de Petzval por ser poco sólido, pero señala que da el mismo valor que se determinó mediante un cálculo aproximado y experimentalmente en su artículo anterior. Luego, utilizando la solución exacta de Lemmel para el cálculo de la imagen de difracción de una fuente puntual de luz a través de pequeñas aberturas, calcula la forma de los patrones de difracción formados por pequeños orificios circulares. Luego calcula el tamaño del punto central para c = 1, sqrt{2}, 2, sqrt{6} y 2 sqrt{2} . Señala que los dos casos que tienen el diámetro más pequeño del punto central de la imagen son c = sqrt{2} y c=2 .

Luego describe un experimento realizado con una variedad de orificios reales y determina que el mejor era equivalente a c = 1,89 , que cae en la zona que determinó a partir de la teoría. Los tamaños de los orificios que probó que eran más pequeños y más grandes que el mejor que eligió experimentalmente fueron equivalentes a c = 1.74 y 2.11 , por lo que su valor de c debe considerarse bueno dentro de un 10% aproximadamente . Antes de continuar, permítanme recomendar la página web Pinhole Design: lo que Lord Rayleigh realmente dijopara una discusión de los otros resultados de Lord Rayleigh de este documento, en particular el hecho de que hay un número f-stop más allá del cual las lentes no son mejores que los agujeros de alfiler. También discuten las implicaciones de lo que estará enfocado para las cámaras estenopeicas (no es todo el campo).

En 1971, Young realizó una serie de experimentos con diferencias muy finas en constante c que informó en Pinhole Optics . Determina que el valor de c que optimiza la resolución es c=2 . Estos resultados son probablemente buenos para alrededor del 1% , lo cual es bastante preciso.

En una presentación de 2004, The Pinhole Camera Revisited or The Revenge of the Simple Minded Engineer, Carlsson señala, sin embargo, que esa resolución no es el único factor que afecta la nitidez que percibimos de una imagen. Otro factor importante es el Contraste. El contraste óptimo no está determinado por el radio más pequeño del punto central en el patrón de difracción a través de un agujero de alfiler, sino por la cantidad de luz total contenida en el punto brillante central, en otras palabras, qué tan concentrada está la luz alrededor del centro. Proporciona muy buenas imágenes que demuestran la diferencia entre la resolución y el contraste y, a mi juicio, tiene razón en que sacrificar la resolución por un mayor contraste mejora la imagen. Su valor de c que optimiza el contraste es c = 1.56. Los otros valores de c más cercanos que informa son c=1 y c=2 , por lo que c=1,56 debe considerarse bueno con un margen de aproximadamente el 20 %.

Tratar de encontrar un resultado de mayor precisión para la mejor constante de contraste me llevó a Hacer, medir y probar el agujero de alfiler "óptimo": Aventuras del agujero de alfiler Parte 3 de Sroyon, que presenta una buena discusión y resultados experimentales. Su artículo me llevó a dos referencias más que analizan la compensación de resolución/contraste que sigue.

En 2017, Tim Parkin informó sobre una serie de pruebas estenopeicas para resolución y contraste en The Science and Aesthetics of the Hole , que también tiene algunas buenas fotos que muestran la diferencia entre los dos criterios. Usó perforaciones caseras y de laboratorio y es bueno ver el impacto de la delgadez del material y la calidad de la perforación en las imágenes resultantes. Sus pruebas también verifican que para la percepción humana de nitidez c=1.56 es la mejor. Parkin varió su distancia focal para un conjunto de cuatro tamaños de orificios, pero no me queda claro qué precisión se aplica a sus hallazgos de que c=1.56 es mejor.

Finalmente, una discusión similar aparece en Way Beyond Monochrome de Lambrecht & Woodhouse en las páginas 153-154, donde c=1.56 se da como el mejor compromiso. Los autores usan la palabra "Teorema" pero no dan la prueba de que 1.56 es óptimo. Me gustaría tener una referencia para esta prueba, pero aún no he encontrado ninguna. En este texto afirman que la resolución óptima está dada por c=1.9 citando a Lord Rayleigh pero para mí la evidencia empírica de Young para c=2 parece bastante fuerte.

Creo que la conclusión de todo esto es que c = 2 parece estar bien respaldado por experimentos y teorías para maximizar la resolución (ser capaz de discernir la diferencia entre dos objetos cercanos), pero para imágenes que parecen "nítidas" a los ojos humanos, contraste también es importante y, por lo tanto, se debe usar un valor más pequeño de c , tal vez tan bajo como c=1.56 . En los casos anteriores en los que se tomaron y mostraron fotografías reales, las diferencias de percepción entre c=1,56 yc =2 son muy sutiles, por lo que mi última conclusión es que no debe preocuparse demasiado por su ubicación en este rango.

Así es como se deriva 1.56:

El tamaño óptimo del agujero de alfiler es cuando el desenfoque geométrico es igual al desenfoque de difracción.

Para objetos lejanos, el desenfoque geométrico = tamaño del agujero de alfiler y el desenfoque de difracción = disco de aire d, d = 2,44 * L * f#, donde L es la longitud de onda.

Recuerda que f# = f/D y que queremos d=D por lo tanto obtenemos: d^2 = 2.44 * L * f.

Si tomamos sqrt y sacamos 2.44 de la raíz, obtenemos d = 1.562 * sqrt (L * f)