Chirrido de frecuencia, frecuencia instantánea y fotones

Me pregunto si este es un caso en el que tienes una intuición física sobre los fotones que no funciona del todo.

Si decimos que 'un fotón' tiene frecuencia$\omega$(y energía$\hbar \omega$) entonces estamos diciendo que el término 'un fotón' se refiere a una excitación de los modos del campo electromagnético, tal que los modos en frecuencia$\omega$están involucrados, en una superposición de cualquier dirección y polarización que sea relevante, en un estado propio del operador de número de fotones ($\hat{a}_\omega^\dagger \hat{a}_\omega$) con valor propio igual a 1. El punto de su pregunta es que si el modo bajo consideración es realmente monocromático, entonces tiene una extensión infinita en el espacio. Al igual que una onda clásica monocromática, no se puede localizar en un solo lugar. Así que cada fotón se distribuye muy ampliamente: infinitamente amplio.

Con un pulso láser chirriado, tiene una colección de fotones, es decir, excitaciones de modo, y en la medida en que tome cada modo como monocromático, en ese mismo grado debe permitir que dicho modo se extienda en el tiempo y por lo tanto en el espacio como Bueno. Todos los modos se superponen y todos ellos están presentes en cualquier instante de tiempo en el pulso. A este respecto, es como el análisis de Fourier de un pulso chirriante de alguna onda clásica. Por lo tanto, los fotones de todas las frecuencias están presentes en todo momento (si insiste en asociar una frecuencia precisa con cada fotón).

Si lo prefiere, puede analizar el campo de forma diferente y expresarlo mediante una transformada wavelet en lugar de una transformada de Fourier. Entonces es posible que desee utilizar el término 'un fotón' para cada wavelet. Dichos fotones no serían monocromáticos, y ahora no estarían todos presentes todo el tiempo.

Espero que esto ayude. Si entendí mal cuál era el problema, lo siento.

Una publicación reciente resuelve explícitamente un modelo de un campo escalar cuántico sin masa (un proxy para el campo EM cuántico) impulsado por una corriente clásica. La corriente es una función arbitraria del tiempo y el espacio, excepto que está limitada a un intervalo de tiempo finito, por lo que la solución incluye formas de onda con frecuencia variable en el tiempo como un caso especial. Las siguientes conclusiones se basan en esa solución, y al final se describen algunos aspectos destacados de las matemáticas. Las conclusiones descritas aquí concuerdan con las respuestas anteriores de Andrew Steane y S. McGrew .

Usaré unidades en las que la velocidad de la luz y la constante de Planck sean ambas iguales a$1$.

...en mi representación mental intuitiva de este fenómeno, el pulso estará compuesto por muchos fotones diferentes...

Sí. Esta parte es correcta, con la advertencia de que el pulso puede describirse con mayor precisión como una superposición cuántica de diferentes números de fotones. Este comentario, como todos los comentarios siguientes, asume que el modelo simple citado anteriormente es un modelo adecuado para cualquier dispositivo productor de luz que se suponga en la pregunta.

...el pulso estará compuesto por muchos fotones diferentes, cada uno con una frecuencia perteneciente al espectro...

Es más exacto decir que cada fotón individual abarca todas las frecuencias que pertenecen al espectro. Un solo fotón puede estar en una superposición cuántica de muchos números de onda diferentes$\mathbf{p}$, y por lo tanto en una superposición cuántica de muchas frecuencias diferentes$\omega=|\mathbf{p}|$. Cada fotón tiene el mismo "perfil" en el dominio del número de onda (también conocido como dominio del momento), y la superposición especial de diferentes números de estos fotones idénticos es lo que explica el carácter esencialmente clásico del pulso. Esto se cuantifica a continuación.

...el número de fotones a esa frecuencia será proporcional a la intensidad de ese componente espectral.

Esta puede ser una declaración correcta si se interpreta con cuidado. El número de fotones detectados a una frecuencia dada, usando un detector selectivo de frecuencia, será proporcional a la intensidad de ese componente espectral. Antes de la detección, cada fotón individual abarca un amplio ancho de banda. Esto es análogo a la afirmación de que, en un experimento de doble rendija, cada fotón individual pasa por ambas rendijas, aunque un fotón individual solo se detectará en una de las rendijas si se colocan detectores dentro de las rendijas.

Por supuesto, el simple hecho de que los detectores reales deben estar localizados en el espacio y deben "integrarse" efectivamente en un intervalo de tiempo finito implica que el detector en sí solo puede distinguir diferentes frecuencias hasta una resolución finita. Esta limitación ya está presente en la física clásica y todavía está presente en la imagen cuántica.

...si el pulso es chirriado tendremos regiones del pulso (tanto en el tiempo como en el espacio) en las que los fotones de una determinada frecuencia están más presentes (¿se miden con mayor probabilidad?) con respecto a los fotones de otra diferente ...

Como se explicó anteriormente, esta afirmación se puede hacer precisa modificándola ligeramente, así: "si el pulso emite un chirrido, tendremos regiones del pulso (tanto en el tiempo como en el espacio) en las que un fotón-contador de fotones selectivo en frecuencia sería registrar más fotones en algunas frecuencias que en otras".

¿Hay alguna forma de obtener una descripción cuántica intuitiva que sea coherente con la clásica?

Sí. Este es el tema de los aspectos más destacados que se muestran a continuación de la solución exacta en la publicación citada anteriormente.

El segundo problema proviene del concepto de frecuencia instantánea...

Dado que un fotón individual no tiene una frecuencia individual, la noción de "frecuencia instantánea" no es más (ni menos) problemática que en la imagen clásica. Un fotón individual tiene un perfil dependiente del tiempo, al igual que una onda clásica; y, de hecho, todas las propiedades de la onda clásica pueden recuperarse de las propiedades de un solo fotón , entendiendo que la onda esencialmente clásica involucra muchas copias idénticas de ese fotón. Esto se cuantifica a continuación.

Los fotones a una determinada frecuencia, en un pulso chirriado, serán medidos con mayor probabilidad en la porción del pulso en la que su frecuencia corresponde a la frecuencia instantánea.

Los comentarios ya realizados anteriormente se aplican de nuevo aquí. El concepto de fotones a una cierta frecuencia no es realmente exacto, al igual que no es exacto describir una forma de onda chirriada clásica (digamos) como si estuviera en una cierta frecuencia. Sin embargo, con varias advertencias, esto se puede convertir en una declaración precisa. Algunas de estas advertencias se describen después del siguiente extracto...

¿Cuál es el significado físico de la frecuencia instantánea? ¿Cómo se relaciona el concepto de frecuencia portadora con esta representación cuántica intuitiva?

Después de revisar a continuación la relación entre las imágenes clásica y cuántica, se responderá implícitamente a estas preguntas: los conceptos de frecuencia instantánea y frecuencia portadora se aplican tan bien a cada fotón individual como al pulso general esencialmente clásico, con la comprensión que cualquier aplicación de medición solo puede producir uno de los posibles resultados definidos por esa medición en particular. Si aplicamos una medida que pregunta cuál es la frecuencia del fotón, obtendremos alguna frecuencia como respuesta. Eso no implica que el fotón estuviera restringido a esa frecuencia antes de la medición; lo sabemos por experimentos como los descritos en otro post .

Incluso para una onda clásica, el concepto de "frecuencia instantánea" debe definirse cuidadosamente. Para una definición idealizada matemáticamente, podríamos separar la función de onda clásica en sus partes de frecuencia positiva y negativa (definidas usando una transformada de Hilbert), y luego definir la "frecuencia instantánea" como la derivada temporal de la fase de cualquiera de estas dos partes de valor complejo. Una definición más práctica se basa en el hecho de que cualquier contador de fotones selectivo de frecuencia real tendrá un tamaño finito y se integrará efectivamente en un intervalo de tiempo finito. En vista de esto, podemos definir "frecuencia instantánea" de una manera más práctica como un rey de la frecuencia promedio en esa región del espacio durante ese intervalo de tiempo. Con esta (suelta) definición,

---

Para describir la relación entre las imágenes clásicas y cuánticas con más detalle, aquí hay algunos aspectos destacados de la publicación citada anteriormente ( https://physics.stackexchange.com/a/443761 ).

La solución exacta en la publicación citada muestra que después de que la corriente se ha apagado, el estado cuántico resultante del campo es el estado coherente

$$\begin{align} |\psi\rangle &\propto \sum_{n\geq 0} \frac{\big(A^\dagger \big)^n}{n!}\,|T\rangle \\ &= |T\rangle + A^\dagger|T\rangle + \frac{1}{2!}\big(A^\dagger \big)^2|T\rangle + \frac{1}{3!}\big(A^\dagger \big)^3|T\rangle +\cdots \tag{1} \end{align}$$ dónde$|T\rangle$representa el estado de vacío a veces$t>T$después de la corriente$J$esta apagado. Cada aplicación del operador $$\begin{equation} A^\dagger \equiv \int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\ a_J(\mathbf{p}) a^\dagger(\mathbf{p}) \tag{2} \end{equation}$$ al estado de vacío crea un único fotón cuyo "perfil" se describe mediante la función de valor complejo$a_J(\mathbf{p})$, porque cada aplicación del operador$a^\dagger(\mathbf{p})$al estado de vacío crea un solo fotón con número de onda (o impulso)$\mathbf{p}$. Así, por ejemplo, el estado$A^\dagger|T\rangle$tiene un solo fotón con perfil$a_J(\mathbf{p})$, y el estado $$\big(A^\dagger \big)^n|T\rangle \tag{3}$$ tiene$n$fotones idénticos con este mismo perfil. El estado coherente (1) es una superposición cuántica de diferente número de fotones, todos con este mismo perfil. El operador de creación $a^\dagger(\mathbf{p})$es el adjunto del operador de aniquilación $a(\mathbf{p})$. Cada aplicación del operador de aniquilación elimina un fotón (con el indicado$\mathbf{p}$) del estado, y si tal fotón no está presente, el resultado es cero. (No fotones cero, sino simplemente cero , lo que significa que este término ya no contribuye en absoluto a la superposición cuántica general).

Para relacionar la imagen de fotones con la imagen de ondas clásicas, podemos usar el observable de amplitud de campo$\phi(t,\mathbf{x})$, cuya relación con los operadores de creación/aniquilación se muestra en la otra publicación. El valor esperado de este observable en el estado (1) es

$$\begin{equation} \langle \psi|\phi(t,\mathbf{x})|\psi\rangle=\phi_J(t,\mathbf{x}), \tag{4} \end{equation}$$ donde la función de valor real$\phi_J(t,\mathbf{x})$está relacionado con$a_J(\mathbf{p})$por $$\begin{equation} \phi_J(t,\mathbf{x}) =\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\ e^{i\mathbf{p}\cdot \mathbf{x}}\, \frac{e^{-i\omega t}a_J(\mathbf{p}) +e^{i\omega t}a_J^\dagger(-\mathbf{p})}{ \sqrt{2\omega}} \tag{5} \end{equation}$$ con$\omega\equiv |\mathbf{p}|$. Como se explica en el otro post, si la magnitud de$a_J$es lo suficientemente grande, entonces el estado (1) describe una onda efectivamente clásica con amplitud variable en el tiempo dada por la función$\phi_J(t,\mathbf{x})$.

La ecuación (5) da una relación explícita entre la onda efectivamente clásica$\phi_J(t,\mathbf{x})$y el perfil de un solo fotón$a_J(\mathbf{p})$en la ecuación (2). Para relacionar esto con el comportamiento de un dispositivo contador de fotones de frecuencia selectiva localizado, necesitamos construir un observable correspondiente a tal dispositivo. Una forma de hacer esto es dejar$\phi^+(t,\mathbf{x})$denote la parte de la amplitud de campo observable$\phi(t,\mathbf{x})$que involucra solo a los operadores de creación$a^\dagger(\mathbf{p})$, y dejar$\phi^-(t,\mathbf{x})$denote la parte de la amplitud de campo observable$\phi(t,\mathbf{x})$que involucra solo a los operadores de aniquilación$a(\mathbf{p})$. Entonces podemos usar un operador de la forma

$$\begin{equation} D(t) = \int d^3x\,d^3y\ f(\mathbf{x},\mathbf{y}) \phi^+(t,\mathbf{x})\phi^-(t,\mathbf{y}) \tag{6} \end{equation}$$ como el observable correspondiente a un contador de fotones casi localizado. depende del tiempo$t$porque esta formulación utiliza la imagen de Heisenberg, donde toda la dependencia del tiempo la llevan los observables en lugar del vector de estado. La función$f$puede ajustarse para elegir dónde se sitúa el contador y a qué rango de números de onda es sensible.

Dije " cuasi -localizado" porque aunque los observables de amplitud de campo$\phi(t,\mathbf{x})$están localizados por definición, los operadores$\phi^\pm(t,\mathbf{x})$no están estrictamente localizados: no conmutan con los operadores de amplitud de campo en una separación similar al espacio. Como resultado, el operador (6) representa un contador de fotones casi localizado. Un operador que está estrictamente localizado dentro de cualquier región finita del espacio no puede aniquilar el estado de vacío (el teorema de Reeh-Schlieder ), por lo que un contador de fotones estrictamente localizado no puede estar libre de ruido. El contador de fotones representado por (6) no tiene ruido pero no está estrictamente localizado.

Las conclusiones expresadas verbalmente en la parte principal de la respuesta se basan todas en esta formulación matemática.

Un pulso de láser muy corto (es decir, un pulso de femtosegundo) tiene un continuo de frecuencias (un espectro), independientemente de cuántos fotones contenga. Atenúe el pulso a solo un fotón por pulso, y el fotón (hasta que se detecte) se comportará como si tuviera el espectro completo del pulso no atenuado. Esto es independiente de cualquier efecto no lineal que pueda deberse al pulso que se propaga a través de un medio.

Si se mide la frecuencia de tal fotón, por ejemplo, enviando el pulso láser a través de un prisma y midiendo el ángulo de salida, por supuesto, la medición arrojará solo una frecuencia única, al igual que la interferometría de fotón único arroja solo una ubicación o ruta por fotón. Pero hasta la medición de la frecuencia del fotón, el paquete de ondas del fotón incluye todo el espectro de frecuencia del pulso. Las técnicas bien establecidas de modelado de pulso coherente pueden proporcionar una idea de esto.