Carga (calibre) del agujero negro y su campo asociado

La métrica de Schwarzschild

$$ds^2~=~(1~-~2m/r)c^2dt^2~-~(1~-~2m/r)^{-1}dr^2~-~r^2d\Omega^2,$$ nos permite observar el movimiento de una carga masiva que se acerca al agujero negro y el movimiento de un fotón que sale de esa partícula según un observador distante. Tenemos para la partícula masiva que $$\left(\frac{ds}{dt}\right)~=~\sqrt{(1~-~2m/r)c^2~-~(1~-~2m/r)^{-1}\frac{dr}{ds}^2}.$$ Esto da el factor general de Lorentz $$\Gamma~=~\frac{1}{\sqrt{(1~-~2m/r)}}\frac{1}{\sqrt{1~-~(1~-~2m/r)^{-2}\frac{dr}{ds}^2}}.$$ Esto luego da la dilatación del tiempo de un reloj en cualquier partícula o sistema que se acerque al horizonte de eventos. Tomará un tiempo $T~\rightarrow~\infty$para que la partícula alcance el horizonte de sucesos.

Para una geodésica nula tiene$ds^2~=~0$. Ahora calculamos el tiempo de retraso para el movimiento radial de un fotón desde una fuente cercana al agujero negro.

$$c\int dt~=~\int_{R>2m}^r(1~-~2m/r)^{-1}dr'~=~\left[r'~+~ln\left(r'~-~2m\right)\right]|_R^r.$$ Esto define la coordenada de retardo. Para $R,~r$grande esto es solo el tiempo que tarda un fotón en viajar una distancia entre dos puntos. Esto es continuo hasta el horizonte. Entonces hay una geodésica nula desde una partícula justo por encima del horizonte hasta la región distante exterior. Esta coordenada de retraso indica que el observador distante será testigo de cualquier partícula que se acerque al horizonte más lentamente y se deslice sin fin hacia el horizonte, como lo ilustra el largo retraso que toma cualquier fotón que sale de esa partícula.

Ahora podemos considerar el momento de una partícula nula del agujero negro. De la métrica con$ds^2~=~0$el momento de un fotón dirigido radialmente es entonces

$$\frac{dr}{dt}~=~(1~-~2m/r).$$ Este se aproxima a cero a medida que el fotón se emite a una distancia que se acerca al horizonte. El término $1~-~2m/r$es un factor de corrimiento al rojo para los fotones. Como se indicó anteriormente, tomará un tiempo infinito observar la carga que emiten estos fotones para alcanzar el horizonte de eventos. Esto también es válido para un fotón virtual. Luego consideramos el movimiento de una partícula que emite un fotón con el operador covariante $\vec P~=~\vec p~+~\vec A$. El potencial del vector de norma es entonces $\vec A~=~(1~-~2m/r)\vec A_0$para $\vec A_0$el vector potencial en el espacio-tiempo plano. El factor de corrimiento al rojo $1~-~2m/r$entra en la física de los fotones virtuales.

Como resultado, el observador exterior detecta el campo eléctrico de una carga que se aproxima a un agujero negro. En efecto, el agujero negro adquiere esta carga. El observador distante nunca es testigo de cómo la carga cae realmente a través del horizonte de sucesos.