Calentamiento Joule para un fluido

Estás buscando algo llamado la ley de Ohm generalizada , que viene dada por:

$$\mathbf{E} + \mathbf{v} \times \mathbf{B} \approx \frac{ \mathbf{j} \times \mathbf{B} }{ n \ e } - \frac{ \nabla}{ n \ e } \cdot \left( \mathcal{P}_{e} + \frac{ m_{e} }{ m_{i} } \mathcal{P}_{i} \right) + \eta \ \mathbf{j} + \frac{ m_{e} }{ n \ e^{2} } \frac{ d \mathbf{j} }{ d t } \tag{1}$$ dónde $\mathbf{j}$es la densidad de corriente total, $n$es la densidad numérica total (suponiendo casi neutralidad , es decir, $n_{e} = n_{i}$), $e$es la carga fundamental, $\mathcal{P}_{s}$es el tensor de presión de las especies $s$, $m_{s}$es la masa de especies $s$( $s$puede ser $e$por electrón o $i$para iones), y $\eta$es la resistividad eléctrica escalar .

El término de calentamiento Joule es el$\eta \ \mathbf{j}$. En los circuitos lineales, a menudo se supone que la Ecuación 1 se reduce a algo parecido a:

$$\mathbf{E} \approx \eta \ \mathbf{j} \tag{2}$$ y luego se puede usar una relación del teorema de Poynting que relaciona la tasa de cambio de energía electromagnética por unidad de volumen en energía mecánica por unidad de volumen (p. ej., calor y/o energía cinética de partículas). Este término está dado por $\mathbf{E} \cdot \mathbf{j}$o aproximado como $\eta \ j^{2}$.

En su ejemplo específico, la Ecuación 2 probablemente también incluiría el término de Hall , es decir, el$\mathbf{j} \times \mathbf{B}$término.