Cálculo de la reflexión de la luz cuando el índice de refracción cambia continuamente

Supongamos que definimos lo siguiente$\zeta = \ln{\varepsilon}$y$\xi = \ln{\mu}$, dónde$\varepsilon$y$\mu$son la permitividad y la permeabilidad , respectivamente. En un sistema sin fuentes (es decir,$\mathbf{j} = 0$y$\rho_{c} = 0$), entonces sabemos que$\nabla \cdot \mathbf{D} = 0$, dónde$\mathbf{D} = \varepsilon \ \mathbf{E}$y$\mathbf{B} = \mu \ \mathbf{H}$. Después de un poco de cálculo vectorial podemos demostrar que:

$$\nabla \cdot \mathbf{E} = - \nabla \zeta \cdot \mathbf{E} \tag{0}$$ Usando esto y alguna manipulación de la ley de Faraday y la ley de Ampêre , podemos mostrar que la ecuación diferencial general en términos de campos eléctricos solo está dada por: $$\left( \mu \varepsilon \frac{ \partial^{2} }{ \partial t^{2} } - \nabla^{2} \right) \mathbf{E} = \left( \mathbf{E} \cdot \nabla \right) \nabla \zeta + \left( \nabla \zeta \cdot \nabla \right) \mathbf{E} + \nabla \left( \zeta + \xi \right) \times \left( \nabla \times \mathbf{E} \right) \tag{1}$$

Podemos obtener una pequeña cantidad de alivio de esto suponiendo que la permeabilidad es la del espacio libre, es decir,$\nabla \xi = 0$. Si además argumentamos que la única dirección en la que importan los gradientes es a lo largo$\hat{x}$y que el vector de onda incidente,$\mathbf{k}$, es paralelo a esto, entonces podemos simplificar aún más la Ecuación 1 a:

$$\left( \mu_{o} \varepsilon \frac{ \partial^{2} }{ \partial t^{2} } - \frac{ \partial^{2} }{ \partial x^{2} } \right) \mathbf{E} = \left( \mathbf{E} \cdot \nabla \right) \zeta' \hat{x} + \left( \zeta' \frac{ \partial }{ \partial x } \right) \mathbf{E} + \zeta' \hat{x} \times \left( \nabla \times \mathbf{E} \right) \tag{2}$$ dónde$\zeta' = \tfrac{ \partial \zeta }{ \partial x }$.

Después de un poco más de manipulación, podemos dividir esto en componentes para mostrar que:

$$\begin{align} \text{x : } \left( \mu_{o} \varepsilon \frac{ \partial^{2} }{ \partial t^{2} } - \frac{ \partial^{2} }{ \partial x^{2} } \right) E_{x} & = E_{x} \zeta'' + \zeta' \frac{ \partial E_{x} }{ \partial x } \tag{2a} \\ \text{y : } \left( \mu_{o} \varepsilon \frac{ \partial^{2} }{ \partial t^{2} } - \frac{ \partial^{2} }{ \partial x^{2} } \right) E_{y} & = 0 \tag{2b} \\ \text{z : } \left( \mu_{o} \varepsilon \frac{ \partial^{2} }{ \partial t^{2} } - \frac{ \partial^{2} }{ \partial x^{2} } \right) E_{z} & = 0 \tag{2c} \end{align}$$

En el límite donde la onda incidente es completamente transversal, entonces$E_{x} = 0$y el componente x (Ecuación 2a) es completamente cero.

A continuación asumes que$\mathbf{E} = \mathbf{E}_{o}\left( x \right) e^{i \omega t}$, dónde$\omega$es la frecuencia de la onda incidente. Luego habrá contribuciones incidentes, reflejadas y transmitidas al campo total en cualquier punto dado (bueno, la transmisión siempre es cero en el primer medio, por supuesto). Cualquier incidencia y aportaciones transmitidas con$\mathbf{k} \cdot \mathbf{x} > 0$mientras que las ondas reflejadas satisfarán$\mathbf{k} \cdot \mathbf{x} < 0$. Usted define la relación de los campos reflejados a incidentes (las impedancias del pozo serían más apropiadas) para obtener el coeficiente de reflexión.

Enfoque más simple
Un enfoque mucho más simple es saber dónde buscar la respuesta a este tipo de preguntas. Como mencioné en los comentarios, ha habido mucho trabajo sobre este mismo tema (es decir, índice de refracción espacialmente dependiente) realizado para la ionosfera . Si miramos, por ejemplo, a Roettger [1980], encontramos una ecuación agradable y conveniente para el coeficiente de reflexión,$R$, en función del índice de refracción, dado por:

$$R = \int \ dx \ \frac{ 1 }{ 2 \ n\left( x \right) } \frac{ \partial n\left( x \right) }{ \partial x } \ e^{-i \ k \ x} \tag{3}$$

No existe una expresión analítica para$R$para su índice de refracción específico. Sin embargo, la integración numérica no es difícil si se conocen los valores de$d$y$\epsilon$. Tenga en cuenta que si hacemos una expansión de Taylor para pequeñas$\epsilon$, entonces el integrando (sin incluir el exponencial) es proporcional al coseno, de primer orden en$\epsilon$(coseno por seno si vamos a segundo orden).

Referencias

• Gossard, EE "Variación del índice de refracción y su distribución de altura en diferentes masas de aire", Radio Sci. 12 (1), págs. 89-105, doi: 10.1029/RS012i001p00089 , 1977.
• Roettger, J. "Reflexión y dispersión de señales de radar VHF de estructuras de refractividad atmosférica", Radio Sci. 15 (2), págs. 259-276, doi: 10.1029/RS015i002p00259 , 1980.
• Roettger, J. y CH Liu "Reflexión parcial y dispersión de señales de radar VHF desde la atmósfera clara", Geophys. Res. Letón. 5 (5), págs. 357-360, doi: 10.1029/GL005i005p00357 , 1978.

Ecuación de onda electromagnética para$\vec E$en un medio isotrópico con$\mu=\mathrm{const}$y sin corrientes libres ni cargas lee

$$-\nabla^2\vec E+\mu\varepsilon\partial_t^2\vec E=-\nabla\left(\vec E\cdot\frac{\nabla\varepsilon}{\varepsilon}\right).\tag1$$

(Se puede derivar de las ecuaciones de Maxwell de manera similar a como lo hace Wikipedia para las ecuaciones de ondas microscópicas).

Si$\varepsilon$solo varía a lo largo$\hat x$, y una onda plana incidente desde el espacio vacío también se propaga a lo largo$\hat x$, entonces la evolución posterior también debería ser simétrica a lo largo de$\hat y$y$\hat z$. Por lo tanto, el producto punto en la RHS de$(1)$desaparece, y obtenemos la ecuación de onda habitual

$$-\nabla^2\vec E+\mu\varepsilon\partial_t^2\vec E=0,\tag2$$

de donde podemos obtener la ecuación para los modos propios estableciendo$\vec E=\vec E_0e^{i\omega t}$:

$$-\frac{c^2}{n^2}\nabla^2\vec E_0=\omega^2\vec E_0.\tag3$$

Para una onda polarizada a lo largo$\hat z$, tenemos$E_x=E_y\equiv0$, y nos quedamos con una sola ODE para$E_z$:

$$-\frac{c^2}{n^2}\frac{\mathrm d^2 E_{0z}}{\mathrm d x^2}=\omega^2 E_{0z}.\tag4$$

Este generalmente no se puede resolver analíticamente. Sin embargo, con un medio periódico, el dominio para el cálculo numérico se puede reducir a un solo período mediante el teorema de Bloch (para algunas frecuencias, su número de onda de Bloch puede volverse imaginario, eso está bien para las soluciones de banda prohibida). Luego, puede hacer coincidir sus ondas planas incidentes y reflejadas con este conjunto de soluciones al requerir condiciones de interfaz adecuadas: continuidad de$E_{0z}$y su primera derivada (incluso si$n(x)$es discontinua en la interfaz); estas condiciones pueden derivarse directamente de$(4)$.

Después de hacer la correspondencia descrita anteriormente, su onda reflejada tendrá una amplitud$r$, de donde su coeficiente de reflexión es$R=|r|^2$.

Voy a esbozar dos enfoques. Ambos implican una solución numérica.

Método 1. Utilice el concepto de matriz de transmisión, pero para una gran cantidad de pequeños pasos a través del material. Por cada pequeño paso$\delta z$encuentre la matriz basada en el cambio local de índice y multiplíquela por la matriz que tiene hasta ahora.

Método 2. Solución de la ecuación de onda. Tienes

$$\frac{\partial^2 E}{\partial t^2} - \frac{c^2}{n^2} \frac{\partial^2 E}{\partial z^2} = 0$$ (Creo que está bien incluso cuando$n$es una función de$z$, pero para ser honesto, no estoy completamente seguro y necesitarías investigar esto antes de continuar. Born and Wolf es un buen recurso.) Asumiendo que esta ecuación diferencial es la correcta (o reemplazándola con otra que sea correcta), entonces todo lo que necesita hacer es usar un solucionador de ecuaciones diferenciales parciales numéricas estándar. Matlab los tiene, también Python y muchos otros lenguajes.

Escribí esta respuesta justo en la parte superior de mi cabeza. No confiaría en él hasta que no hubiera trabajado más, y probablemente querría configurar ambos métodos y, por lo tanto, usarlos para verificarse entre sí.