Cálculo de la descarga de Ultra Capacitores

Si modelamos la configuración con un condensador en paralelo con la carga, y dejamos$i$ser la corriente en la carga y$v$el voltaje a través de los dos, las ecuaciones del circuito son:

$$\left\{ \begin{aligned} -i &= C \dfrac {dv} {dt} \\[1 em] v i &= P \end{aligned} \right. \qquad \Leftrightarrow \qquad \left\{ \begin{aligned} -i &= C \dfrac {dv} {dt} \\[1 em] i &= \dfrac P v \end{aligned} \right.$$

Donde P es el nivel de potencia constante. Poner los dos juntos le dará esta ecuación diferencial:

$$C \dfrac {dv} {dt} = - \dfrac P v \qquad \Leftrightarrow \qquad v dv = - \dfrac P C dt \qquad \Leftrightarrow \qquad 2 v dv = -2 \dfrac P C dt$$

Si integramos a partir del instante 0 donde asumimos un voltaje$v_0$está al otro lado de la tapa, obtenemos:

$$\int_{v_0}^{v} {2 v dv} = \int_0^t {-2 \dfrac P C dt} \qquad \Leftrightarrow \qquad v^2 - v_0^2 = -2 \dfrac P C t$$

De donde puede obtener fácilmente una fórmula para el voltaje y el tiempo:

$$t = \dfrac {C}{2 P} (v_0^2 - v^2) \qquad v = \sqrt{v_0^2 - \dfrac{2P}{C} t}$$

Si queremos tener en cuenta la ESR u otros elementos del circuito, la ecuación se vuelve más difícil de resolver, pero para una suposición inicial debería ser lo suficientemente buena.

Aquí hay una simulación de LTspice para el sistema. Observe que la carga ha sido modelada por una fuente de corriente de comportamiento que se comporta como una carga de potencia constante solo hasta que su voltaje alcanza Vmin, luego vuelve a un comportamiento de resistencia constante. Esto es necesario para evitar la inestabilidad numérica en la simulación, ya que una verdadera fuente de energía constante no es un dispositivo físico (con 0 voltios consume infinitos amperios).

Y aquí están los resultados. Puede notar la confirmación de la forma de raíz cuadrada invertida en el tiempo del voltaje Vx predicho teóricamente arriba. Las formas de las señales cambian al voltaje y la corriente decrecientes exponencialmente habituales cuando la carga cambia al modo de resistencia constante.

Aquí hay un gráfico ampliado del voltaje, que muestra el valor de tiempo que está buscando:

Lo cual es coherente con el valor calculado con la fórmula anterior:

$$t_{shutdown} = t(v)\bigg|_{v=10V} = \dfrac {C}{2 P} (v_0^2 - v^2)\bigg|_{v=10V} = \dfrac {1000F}{2 \times 280W} \left[(15V)^2 - (10V)^2\right] = 223.2 s$$

Una respuesta teórica para un problema de tarea sería tomar la energía en el capacitor al inicio y la energía en el capacitor cuando el dispositivo deja de funcionar (10 V, presumiblemente) y restar los dos.

$\Delta$tu =$(\frac{CV_i^2}{2}$-$\frac{CV_f^2}{2})$

Dado que conoce la tasa de consumo de energía (280J/s), puede calcular el tiempo de ejecución fácilmente.