Bola rodando a lo largo de una pista elástica

Es un problema interesante.

La banda elástica solo produce una fuerza vertical sobre la pelota cuando se dobla en el punto de contacto. Si el ángulo de desviación entre las dos partes de la banda es$\theta$, y la tensión en la banda es$T$, entonces la fuerza sobre la pelota es$F=2T\sin\frac{\theta}{2}$;

esta fuerza actuará sobre la pelota en un ángulo$\alpha$(que es función de la separación de las bandas, y del tamaño de la pelota). Nuevamente, la fuerza vertical será una función de ambos$F$y$\alpha$; si$\alpha$es el ángulo entre la vertical y la línea desde el centro de la pelota hasta el punto de contacto, la fuerza vertical debida a cada banda elástica será$F\cos\alpha$, y como hay dos bandas, la fuerza total es$2F\cos\alpha$:

Ahora$\alpha$se relaciona con el espacio entre las bandas; a medida que las bandas se separan más,$\alpha$aumenta y la fuerza vertical disminuye. Al mismo tiempo, aumenta el ángulo de la banda, por lo que aumenta la componente de tensión.

Espero que puedas hacerlo desde aquí. Si todavía estás atascado, es posible que mañana te de más detalles.

RESPUESTA ACTUALIZADA

El diagrama de abajo a la izquierda muestra una sección transversal a lo largo de los rieles elásticos. La bola (azul) descansa sobre los 2 cables (rojo). Suponiendo que no hay fricción entre la bola y los rieles, las fuerzas de contacto (N) que ejerce la bola sobre los rieles son normales a la superficie de la bola y radialmente hacia afuera. Por lo tanto, hay componentes horizontales de N, que empujan los alambres elásticos hacia afuera y hacia abajo. Los alambres ejercen fuerzas N iguales y opuestas sobre la pelota, empujándola hacia adentro y hacia arriba.

La condición para el equilibrio es que$2N\cos B=W=mg\cos\theta$, dónde$\theta$es el ángulo local de inclinación de los rieles, ya sea debido a la deformación local o la pendiente global entre apoyos. Cuando la tensión neta$F$en la banda normal a la superficie de la bola entonces$N$es igual a la fuerza de Floris$F$. Si la bola es lo suficientemente pesada como para deslizarse entre los rieles, esto sucederá en el punto medio, donde$\theta$es la inclinación entre apoyos.

La figura del medio es la misma vista que la de la izquierda pero enfocada en el movimiento de los rieles. Los rieles y los soportes están inicialmente en X antes de que la bola alcance el punto medio. A medida que el riel elástico se extiende y se hunde, el punto de contacto se mueve hacia afuera mientras que el soporte se mueve verticalmente hacia arriba en relación con la bola.

Si el punto de contacto está en Y mientras que el soporte está en X", entonces el riel está en el plano YX" con una fuerza de tensión neta$F$dirigida a lo largo de YX"; hay un componente de esta fuerza$F$que tiende a mover el riel más hacia afuera alrededor de la superficie de la bola. Si el apoyo está en X' en el radio OY entonces la fuerza$F$desde la banda es normal a la superficie de la bola;$F=N$y no hay tendencia a que el riel se mueva más alrededor de la bola, ni hacia adentro ni hacia afuera.

La figura más a la derecha ilustra el alargamiento de los rieles y su conexión con z=YX' en la figura del medio. Ángulo$A=\frac12\theta$en el primer diagrama de Floris.

De la geometría en las figuras del medio y de la derecha tenemos:
$(a-z)\sin B=w$
$L^2-L_0^2=(L-L_0)(L+L_0) \approx z^2$
$x=L-L_0 \approx \frac{z^2}{2L_0}$
porque$L \approx L_0$. Aquí$a$es el radio de la bola,$2w$es la separación lateral de los apoyos y$2L_0$la separación longitudinal.

Cuando$N=F$luego por sustitución, usando z como un parámetro conveniente, esto se convierte en:

con los valores de$m, a, w, L_0$que usted suministró, y tomando un valor medio de$\theta=15^{\circ}$, he trazado el RHS (rojo) para los 2 valores de$m$en el gráfico a continuación.

La tarea restante es encontrar la tensión precargada$T_0$que dará el valor requerido de$T$para una separación óptima de las bolas cuando llegan al punto medio. La dificultad es que la Ley de Hooke puede no aplicarse a las cuerdas elásticas. Deberá examinar la carga$T$vs extensión$x$experimentalmente para ver si se aplica y bajo qué condiciones. De acuerdo con ¿Actúan las bandas elásticas como resortes? , si la banda elástica no se estira demasiado rápido y ha excedido una extensión mínima inicial, entonces obedece a una versión modificada de la Ley de Hooke:
$T=kx+c$
dónde$k$y$c$son constantes que puede encontrar en su gráfico de carga frente a extensión. Cuando$z=0$entonces la tensión precargada en los rieles es$T_0$para que podamos escribir
$T=T_0+k\frac{k}{2L_0}z^2$.
Esto se puede trazar en el mismo gráfico (azul) usando valores arbitrarios de$T_0$desplazar la línea azul verticalmente hasta que se cruce con las líneas rojas con la mayor separación, de modo que un pequeño cambio en la tensión produzca un gran cambio en la masa que cae. (He asumido un valor arbitrario de$k=500$).

El mejor valor para esto es$T_0 \approx 2$. De esto y tu ecuación$T=kx+c$puede calcular qué longitud de elástico sin estirar necesita.

yo asumo eso$a$y$m$son constantes, cosas que no se pueden variar. Los valores que puede variar son$w, L_0, \theta, T_0$. Una pregunta que debe hacerse es: ¿Qué combinación de estas variables le permite la máxima discriminación entre las dos masas dadas? Puede explorar las predicciones para varias combinaciones de parámetros, particularmente aquellos que tienen mayor influencia.

Algunas limitaciones del análisis anterior:

• No tiene en cuenta el rozamiento. Si bien esto puede ser pequeño para el mármol, probablemente sea significativo para la madera.

• Las bolas rodantes pueden causar vibraciones en las cuerdas que les ayudan a deslizarse alrededor de las bolas más fácilmente. Esto puede compensar un poco la fricción, o quizás compensar en exceso y hacer que las bolas caigan con más tensión de la que esta teoría predice que necesitarán.