Autocorrelación de ruido térmico y análisis de dominio de tiempo

El ruido térmico también se conoce como ruido de Johnson, ruido de Nyquist, ruido de resistencia y variaciones de los mismos. Una excelente caracterización del ruido térmico se debe a Davenport y Root 1 : “La aleatoriedad del movimiento térmicamente excitado de los electrones libres en una resistencia da lugar a un voltaje fluctuante que aparece entre los terminales de la resistencia. Esta fluctuación se conoce como ruido térmico. Dado que el voltaje de ruido total viene dado por la suma de un gran número de pulsos de voltaje electrónico, uno podría esperar del teorema del límite central que el voltaje de ruido total sería un proceso gaussiano. De hecho, se puede demostrar que esto es cierto”.

Entonces, el ruido tiene una distribución gaussiana , como se muestra en el lado derecho de la segunda figura del OP.

Un poco más generalmente, el ruido térmico es el voltaje de ruido producido debido al movimiento térmico de partículas cargadas en medios conductores. Para un conductor con impedancia Z, solo la parte real de la impedancia, Re{Z}, genera ruido térmico. El ruido térmico es cero en el cero absoluto y sería cero en conductores perfectos, porque entonces Re{Z} = 0. La densidad espectral de potencia de ruido (PSD) bilateral, denotada por$S_n(f)$y tener unidades de${V^2/Hz}$, se da como 2 :

$${S_n(f) = \frac{2Rh|f|}{e^{h|f|/kT}-1}} \tag{1}$$

donde R = resistencia (Ω), f = frecuencia (Hz), T = temperatura absoluta (K), h = constante de Planck (${6.6260755 x 10^{-34} J s}$), y k = constante de Boltzmann (${1.38054 x 10^{-23} J/K}$). Tenga en cuenta que 1 J = 1 W/Hz.

Esta PSD bilateral, para R = 1000 Ω, T = 300 K y ±60 THz alrededor de CC, se muestra a continuación:

La tensión media de ruido térmico es cero, de acuerdo con la Segunda Ley de la Termodinámica, y la varianza, que es igual a la media de la tensión cuadrática porque la tensión de ruido tiene media cero, es 2 :

${\sigma^{2} = \int\limits_{-\infty}^{\infty}S_n(f)\,df = \frac{2R(\pi kT)^2}{3h}} \tag{2}$

Esta variación sería la potencia de ruido si no hubiera restricción en el ancho de banda de medición . De hecho, siempre debe haber una restricción en el ancho de banda de medición . Prácticamente en todos los casos, el sistema de medición impone un ancho de banda equivalente al ruido que es mucho más pequeño que kT/h, por ejemplo, para un filtro de paso bajo RC simple, el ancho de banda equivalente al ruido es 1/4RC. A 300 K, kT/h$\approx$6,25 THz. Para una resistencia de 1000 Ω a 300 K, la PSD de ruido bilateral, sobre ±6,25 THz alrededor de CC, es:

Si el ancho de banda de medida << kT/h, como suele ser el caso, entonces h|f|/kT << 1 y${e^{h|f|/kT} -1} \approx h|f|/kT$. En consecuencia, la expresión rigurosa para${S_n(f)}$se simplifica a:

$${S_n(f) \approx 2RkT} \tag{3}$$

que también se muestra arriba. El PSD de ruido unilateral convencional,${G_n(f)}$, Se define como:

$${G_n(f)} = 2S_n(f) \tag{4}$$

para f ≥ 0 y cero en caso contrario. Entonces${G_n(f)}$es de aproximadamente 4kTR. Por lo tanto, el ruido térmico, en el límite donde${h|f| << kT}$, es ruido blanco, es decir, ruido sin dependencia de frecuencia. Si${G_n(f)}$en realidad equivalía a 4kTR, para todas las frecuencias, la variación sería infinita (y físicamente absurda).

Así que la autocorrelación de la PSD blanca aproximada, es decir, la transformada inversa de Fourier de la ecuación 3, es una 'función delta'. Pero la autocorrelación, de la traza temporal que se muestra a la izquierda de la segunda figura del OP, sería un pico estrecho que se aproxima a la función 'delta'. La transformada inversa de Fourier de la ecuación 1 daría la autocorrelación real del ruido térmico.

Referencias:

1. WB Davenport, Jr., WL Root, Introducción a la teoría de las señales aleatorias y el ruido, McGraw-Hill, NY, ©1958, p. 185.

2. AB Carlson, Sistemas de comunicaciones, McGraw-Hill, NY, ©1968, p.118.

(1) las resistencias están físicamente separadas. Por lo tanto, los movimientos de los electrones que saltan de órbita, o saltan de un átomo a otro, o de un grano a otro, no estarán correlacionados.

(2) La frecuencia de 3dB para el ruido de electrones (térmico) es de aproximadamente 200 terahercios, porque el tiempo de salto de electrones es de unos pocos femtosegundos.

1) El cálculo de la fuerza bruta te da el resultado. Si toma la definición de voltaje RMS y la aplica a una suma, digamos A+B donde A y B son voltajes aleatorios diferentes, tiene que integrar (A+B)^2, Eso es A^2 + 2AB + B ^ 2. La integral de una suma es la suma de integrales. Pero el producto AB integrado se reduce a la función de correlación cruzada en delay=0 y eso es cero si y solo si A y B son independientes.

2) Autocorrelación con retardo cero (o R(0)) = El delta de Dirac es cierto para el ruido blanco teórico de ancho de banda infinito porque tiene una potencia infinita y el voltaje puede variar infinitamente rápido. Ninguna simulación puede tener tal señal.

Generalmente R(0)= la potencia media (a 1 Ohm). R(T) donde T no es cero, en la práctica debería finalmente dar algo si T es lo suficientemente pequeño porque el ancho de banda limitado evita que la señal varíe infinitamente rápido.

Supongo que deberías leer algo sobre procesos estocásticos. Todos los libros elementales de teoría de la comunicación a nivel universitario los utilizan y muy probablemente también explican sus conceptos básicos en una sección introductoria.