Aproximación de un diferenciador no ideal

esquemático

simular este circuito : esquema creado con CircuitLab

El circuito anterior es un diferenciador, se supone que el amplificador operacional es un amplificador operacional de un solo polo, es decir A = w t s

La función de transferencia será, por lo tanto, la de un filtro de paso de banda. (segundo orden)

Sin embargo, mi pregunta es, esto también es un diferenciador, entonces, ¿hasta qué frecuencia se puede aproximar esto para ser un diferenciador?

Si hubiera sido un amplificador operacional ideal, sería simplemente un filtro de paso alto. Ahora que consideramos que no es ideal, debe haber una cierta frecuencia hasta la cual puede actuar como un diferenciador, sin embargo, no tengo idea de cómo calcular eso. ¿Quizás usando errores de fase/magnitud?

La respuesta depende del rango de frecuencia de funcionamiento deseado (valores de R1, R2, C1). Por supuesto, R2/R1 debe ser lo más grande posible y R1C1 lo más pequeño posible.
La función general de este circuito es paso alto, no paso banda. Esto supone un opamp ideal y similares.
Algo divertido de notar es que un circuito se comportará como un diferenciador siempre que tenga un cambio de fase de -20dB/década y -90 grados. Si bien esto es cierto, básicamente es un integrador, independientemente del número total de polos/ceros.

Respuestas (3)

Aquí hay una forma de pensar sobre esto menos matemáticamente rigurosa pero, con suerte, fácil de entender.

Lo que tiene desde el extremo izquierdo de C1 hasta la salida es un diferenciador puro. Lo único que hace que el circuito no sea un diferenciador es R1. R1 trabajando contra C1 es un filtro de paso bajo, que deshace el efecto del diferenciador.

Por lo tanto, este circuito es un diferenciador cuando R1 es "pequeño" en comparación con C1. Dicho de otra manera, la parte diferenciadora de este circuito domina por debajo de la frecuencia donde el filtro de paso bajo R1-C1 se vuelve significativo.

La caída de frecuencia de un filtro RC es 1/2ΠRC. En su caso, en frecuencias muy por debajo de eso, el filtro de paso bajo efectivamente no está allí, ya que simplemente pasa su señal de entrada a la salida. En frecuencias muy por encima de la atenuación, la atenuación es proporcional a la frecuencia dividida por la frecuencia de atenuación.

La respuesta en cuanto a qué rango de frecuencia actúa este circuito como un diferenciador depende del error que pueda tolerar. La acción del filtro RC nunca desaparece por completo con una frecuencia más baja. Solo se acerca a eso. Solo usted puede decir cuán poco efecto es lo suficientemente pequeño.

Olin Lathrop: ¿error de escritura (diferenciador frente a integrador)? Para un valor R1 "pequeño" tenemos un diferenciador casi ideal. Sin embargo, no será estable, por lo tanto, la resistencia en serie R1.
@LvW: Ups. Fijado.
Olin Lathrop: mire la segunda línea (integrador) y la tercera línea, así como la séptima línea (paso bajo).
@LvW: ¡Vaya! Se corrigió el "integrador" restante (creo) a "diferenciador". Sin embargo, la parte del "filtro de paso bajo" es correcta. R1-C1 forman un filtro de paso bajo. Un diagrama de Bode de ese filtro sería una línea plana a 0 dB de la frecuencia de caída, y luego descendería a 20 dB/década a la derecha de eso. El diferenciador, por el contrario, tiene una respuesta de frecuencia creciente a 20 dB/década. Estos se combinan para hacer una respuesta de frecuencia plana más allá de la frecuencia de atenuación R1, C1. Debajo de eso, el diferenciador domina.
Está bien, sé lo que quieres decir. Con respecto al nodo entre R1 y C1, tenemos un comportamiento de paso bajo, y la señal en este nodo ve un diferenciador ideal. Ambos efectos se cancelan entre sí, y tenemos una magnitud plana para las bajas frecuencias.
@LvW: la respuesta plana es a altas frecuencias, cuando tanto el filtro de paso bajo como el diferenciador están activos.
Sí, tiene usted razón. Tenía en mente el factor de retroalimentación inversa porque esta respuesta determina la selección de la frecuencia de la esquina superior.

Puede trabajar a través de la función de transferencia (Vout/Vin) suponiendo que no fluya corriente hacia las entradas del amplificador operacional. De este modo:

ingrese la descripción de la imagen aquí

Conecte su función para la ganancia del amplificador operacional en A y resuelva Vout/Vin. A continuación, puede trazar la respuesta de ganancia y fase en función de la frecuencia y compararla con un diferenciador ideal.

Buena idea, sin embargo, suponer que no fluye corriente hacia las entradas es una gran simplificación, especialmente cuando se tienen en cuenta las capacitancias de entrada. Puede usar esta ecuación para establecer el comportamiento general del circuito, pero no contaría con obtener la frecuencia de esquina correcta en un orden de magnitud.
@Chris Hansen Eso es correcto, pero creo que no hay necesidad de reinventar la rueda. Prefiero usar su expresión de relación de retorno en algún contexto de teoría de retroalimentación bien establecido
@FelixS Incluir algo de no idealidad adicional, capacitancia de entrada, pero también impedancia de salida es posible, pero creo que un enfoque paso a paso para brindar una mejor curva de aprendizaje. Entonces, comience de la manera más simple posible (¿primera configuración con el opamp ideal ya hecho?) Y luego aumente la complejidad de su modelo.

Creo que, también en este caso, puede tratar el opamp como ideal porque todas las propiedades reales (impedancias de entrada y salida finitas, ganancia dependiente de la frecuencia) juegan un papel menor.

La frecuencia de "cruce" (magnitud unitaria) es app. en w1=1/R2C1 . La frecuencia de la esquina superior (la magnitud se aplana en un valor de (R2/R1) es aproximadamente en w2=1/R1C1 . Debido a la estabilidad del circuito de retroalimentación, es importante que esta frecuencia (w2) esté bien (al menos por un factor 6) por debajo de la frecuencia wo donde la magnitud de la ganancia del lazo es la unidad Este requisito le da otra ecuación para la selección de w2.

La frecuencia wo se puede encontrar utilizando el producto ganancia constante-ancho de banda (frecuencia de tránsito wt): GBW=wt=wo*(1+R2/R1). A partir de esto, podemos derivar el requisito

w2 << wo=wt/(1+R2/R1) .

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