Análisis de filtro de muesca activa Twin-T

La transformada Delta-Star se puede utilizar para analizar la red Twin-T utilizando el siguiente procedimiento:

1. Las dos redes T se pueden convertir en redes Delta gemelas en paralelo:
2. Condense estas dos redes Delta en una sola red Delta

3. Convierta la red Delta resultante nuevamente en una red T.

4. Para ver el comportamiento de muesca del gemelo T pasivo, suponga que el nodo 2 está conectado a tierra y trate la red Delta que obtuvo en el paso 3 como un divisor de voltaje.

   Encontrarás una función de transferencia de

   $$H(s) =\frac{s^2 + {\omega_0}^2}{s^2 + 4s\omega_0 + {\omega_0}^2}$$ .

5. Para ver el efecto del arranque, suponga que el nodo 2 se mantiene en un voltaje α Vout, donde α es un factor de escala entre 0 y 1. La red T todavía actúa como un divisor de voltaje, dividiendo entre Vin y α Vout. Para encontrar el comportamiento del sistema, necesitamos resolver la ecuación

   $$v_\textrm{out} = \alpha \cdot v_\textrm{out} + H(s) ( v_\textrm{in} - \alpha\cdot v_\textrm{out} )$$ , donde $$H(s)=Z_2/(Z_1 + Z_2)$$ es la función de transferencia sin retroalimentación. Haciendo esto, encontramos una nueva función de transferencia: $$G(s) = \frac{1}{(1-\alpha)\frac{1}{H(s)} + \alpha}$$ . Tenga en cuenta que para$\alpha=0$(sin comentarios), tenemos$G(s)=H(s)$, como se esperaba. Para$\alpha=1$, el sistema se vuelve inestable. Trazando esta función para valores de alfa entre 0 y 1, encontramos un gran aumento en la Q de la muesca.

La función de transferencia resultante es:

Así es como se ve la respuesta de frecuencia, ya que la ganancia de retroalimentación$\alpha$está cambiado:

El álgebra de las diversas transformadas es un poco tediosa. Usé Mathematica para hacerlo:

(* Define the delta-star and star-delta transforms *)

deltaToStar[{z1_,z2_,z3_}]:={z2 z3, z1 z3, z1 z2}/(z1+z2+z3)
starToDelta[z_]:=1/deltaToStar[1/z]

(* Check the definition *)
deltaToStar[{Ra,Rb,Rc}]

(* Make sure these transforms are inverses of each other *)
starToDelta[deltaToStar[{z1,z2,z3}]]=={z1,z2,z3}//FullSimplify
deltaToStar[starToDelta[{z1,z2,z3}]]=={z1,z2,z3}//FullSimplify

(* Define impedance of a resistor and a capacitor *)
res[R_]:=R
cap[C_]:=1/(s C)

(* Convert the twin T's to twin Delta's *) 
starToDelta[{res[R], cap[2C], res[R]}]//FullSimplify
starToDelta[{cap[C], res[R/2], cap[C]}]//FullSimplify

(* Combine in parallel *)
1/(1/% + 1/%%)//FullSimplify

(* Convert back to a T network *)
deltaToStar[%]//FullSimplify

starToVoltageDivider[z_]:=z[[2]]/(z[[1]]+z[[2]])
starToVoltageDivider[%%]//FullSimplify

% /. {s-> I ω, R ->  1/(ω0 C)} // FullSimplify

Aquí hay una forma de hacerlo: el filtro de muesca con retroalimentación es un poco más complicado, por lo que por el momento solo describiré cómo hacer la forma general del filtro de muesca de doble T:

Para resolver el circuito mediante el análisis nodal, lo que debe hacer es convertir la fuente de voltaje Vin en su fuente Norton equivalente; aunque es un poco complicado porque debe convertir Vin en dos fuentes Norton para tener en cuenta R1 y C1 y luego reorganizar el circuito para compensar . Me gusta esto:

Los puntos 1, 2 y 3 se muestran en sus nuevas posiciones en el circuito equivalente. Entonces debería poder escribir las ecuaciones de KCL mediante inspección y crear una matriz aumentada de 3 por 3 en las incógnitas V1, V2 y V3. Luego puede resolver V2/Vo en términos de Vin usando la regla de Cramer.

El circuito de retroalimentación como se muestra en la hoja de datos de TI no debería ser mucho más complicado, ya que la salida está amortiguada por U1A y U1B, entonces podría crear un circuito equivalente de fuente de corriente similar; en lugar de que R2 y C2 en mi primer diagrama vayan a tierra, estarían conectados a una fuente de voltaje con un valor de$Vo*\alpha$, donde alfa es la relación de división de tensión.

Editar: primer diagrama corregido