Algunas preguntas básicas sobre instantons

1) Suponga que tiene dos configuraciones (aquí he usado el indicador de Coulomb con tiempo euclidiano$\tau$):

$$\tag 0 A_{i}(x) = \begin{cases} 0 = U^{(0)}\partial_{i}(U^{(0)})^{-1}, \quad \tau = -\infty \\ U^{(1)}\partial_{i}(U^{(1)})^{-1}, \quad \tau = \infty\end{cases}$$ Tal situación describe la tunelización entre vacíos con cargas topológicas $0$y $1$. A continuación, debe calcular el invariante de Maurer-Cartan (ver Eq. $(1)$), que para la configuración dada es igual a 1. Se puede demostrar por la invariancia manométrica de esta cantidad y por la integración en la superficie del cilindro, en la que $z$El eje denota tiempo, mientras que las direcciones "perpendiculares" denotan coordenadas espaciales, que es igual a $$n = \frac{1}{24 \pi^{2}}\left(\int d^{3}\mathbf r\epsilon_{ijk}\text{Tr}A_{i}A_{j}A_{k}\right)_{\tau = -\infty}^{\tau = \infty} = |(0)| = n[U^{(1)}] - n[U^{(0)}]$$ Para que veas eso en el calibre de Coulomb $A_{0} = 0$la solucion instantanea $(0)$realmente describe túneles entre vacíos con cargas topológicas $0$y $1$. Dado que cada instante con valor topológico arbitrario se puede describir como un conjunto de instantes con valor topológico $1$(mirar a 4)), y debido a la invariancia de calibre de $n$, el resultado indicado anteriormente es cierto para la configuración con un número arbitrario $n$y para cada calibre.

2) Sí, los instantones son soluciones de ecuaciones clásicas de movimiento. Pero solo el sistema cuántico puede describirse como la superposición de diferentes estados. En el caso de teorías con propiedades topológicas no triviales, en general el estado de la teoría es

$$|\text{vac}\rangle = \sum_{n = -\infty}^{\infty} c(n)| n\rangle$$ Debido a la posibilidad de tunelización entre vacíos con diferentes valores de $n$ $c(n)$no es cero para todos $n$. Se puede demostrar que $c(n) = e^{-i\theta n}$, dónde $\theta$es un parámetro arbitrario. Esto, por supuesto, es imposible en la teoría clásica.

3) En general, tienes que encontrar$U(x)$por lo que tiene una carga topológica definida. Cuando lo encuentres, obtendrás la solución con asintóticas correctas. Por ejemplo, debido al hecho de que$U^{-1} = \tau_{\alpha}n_{\alpha}$, dónde$\tau_{\alpha}$es$SU(2)$generador de grupos y$n_{\alpha}$es el 3-vector unitario, corresponde a la carga topológica$1$, se mantiene la siguiente relación:

$$U^{-1}\partial_{\mu}U = -i\bar{\eta}_{\mu \alpha a}\frac{n_{\alpha}}{r}\tau_{a} \sim \frac{1}{r},$$ lo cual es suficiente para la finitud de la acción. Aquí $\bar{\eta}_{\mu \alpha a}$es el símbolo de t'Hooft anti-doble.

La relación entre finitud de acción y entre configuraciones con diferentes cargas topológicas se deriva de la desigualdad de Bogomolny.

4) dos diferentes$SU(2)$elementos$U^{(1)}(x),U^{(2)}(x)$corresponde a los diferentes valores del invariante de Maurer-Cartan:

$$\tag 1 n = \frac{1}{24 \pi^{2}}\int d\sigma_{\mu}\epsilon^{\mu \nu \rho \sigma}\text{Tr}[\rho_{\nu}\rho_{\rho}\rho_{\sigma}],$$ dónde $$\rho_{\alpha} \equiv U\partial_{\alpha}U^{-1}$$ Esta cantidad es invariante bajo pequeñas perturbaciones. $U \to U + \delta U$y bajo reemplazo de coordenadas $x \to x{'}$. Esto significa que $U^{(1)}$y $U^{(2)}$son topológicamente desiguales ya que existe una ley de conservación de la carga topológica: transformación continua de $U^{(1)}$que lo transforma en $U^{(2)}$no existe En principio, sin embargo, la configuración con carga topológica $2$puede representarse como un conjunto de configuraciones con carga topológica resumida $2$.