¿Adónde va la energía en la interferencia destructiva? [duplicar]

Cuando las ondas electromagnéticas se propagan sin pérdidas de energía, por ejemplo en el vacío, es fácil demostrar que se conserva la energía total. Consulte, por ejemplo , la Sección 1.8 aquí .

De hecho, no sólo se conserva la energía total. La energía se conserva localmente, a través de la ecuación de continuidad.

$$\frac{\partial \rho_{\rm energy}}{\partial t}+\nabla\cdot \vec J = 0$$ Esto dice que cada vez que la energía disminuye desde un pequeño volumen $dV$, está acompañado por el flujo de la misma energía a través del límite del pequeño volumen $dV$y la corriente $\vec J$asegura que la energía aumentará en otros lugares. La ecuación de continuidad anterior se prueba fácilmente si se sustituyen las expresiones correctas por la densidad de energía y el vector de Poynting: $$\rho_{\rm energy} = \frac{1}{2}\left(\epsilon_0 E^2+ \frac{B^2}{\mu_0} \right), \quad \vec J = \vec E\times \vec H$$ Después de la sustitución, el lado izquierdo de la ecuación de continuidad se convierte en una combinación de múltiplos de las ecuaciones de Maxwell y sus derivadas: es cero.

Estas consideraciones funcionan incluso en presencia de superficies reflectantes, por ejemplo, metales que se utilizan para construir un experimento de doble rendija. De ello se deduce que si un pulso electromagnético tiene algo de energía al principio, la energía total obtenida como la integral$\int d^3x \rho_{\rm energy}$será el mismo al final del experimento, independientemente de la disposición detallada del experimento de interferencia.

Si hay mínimos de interferencia, siempre van acompañados también de máximos de interferencia. La ley de conservación que hemos probado anteriormente garantiza eso. De hecho, se puede rastrear a través de la densidad de energía y la corriente, el vector de Poynting, cómo se transfiere la energía desde los mínimos hacia los máximos.

Imagine que, al principio, tenemos dos paquetes de cierta sección transversal que se mantendrán fijos y el único componente distinto de cero de$\vec E$va como$\exp(ik_1 x)$(y se localiza dentro de un rectángulo en el$yz$plano). Interfiere con otro paquete que va como$\exp(ik_2 x)$. Como el valor absoluto es el mismo, la densidad de energía proporcional$|E|^2$es$x$-independiente en ambas ondas iniciales.

Cuando interfieren, obtenemos

$$\exp(ik_1 x)+\exp(ik_2 x) = \exp(ik_1 x) (1 + \exp(i(k_2-k_1)x)$$ La fase general es irrelevante. El segundo término se puede escribir como $$1 + \exp(i(k_2-k_1)x = 2\cos ((k_2-k_1)x/2) \exp(i(k_2-k_1)x/2)$$ La fase final (exponencial) puede ignorarse nuevamente ya que no afecta el valor absoluto. Ves que la onda interferida compuesta por las dos ondas ordinarias va como $$2\cos ((k_2-k_1)x/2)$$ y su cuadrado va como $4\cos^2(\phi)$con el mismo argumento. Ahora, lo divertido del coseno al cuadrado es que el valor promedio en el espacio es $1/2$porque $\cos^2\phi$oscila armónicamente entre $0$y $1$. Entonces el valor promedio de $4\cos^2\phi$es $2$, exactamente lo que se espera de sumar la energía de dos haces iniciales, cada uno de los cuales tiene la densidad de energía unitaria en la misma normalización. (La energía total debe multiplicarse por $A_{yz} L_x\epsilon_0/2$: el factor usual de $1/2$, permitividad, el área en el $yz$-plano, y la longitud del paquete en el $x$-dirección, pero estos factores son los mismos para los estados inicial y final.)

Finalmente, permítame agregar algunas palabras que explican intuitivamente por qué no puede organizar un experimento que solo tenga interferencias mínimas (o solo interferencias máximas, si quisiera duplicar la energía en lugar de destruirla, lo que podría ser más útil). Para hacer que la interferencia sea puramente destructiva en todas partes, los haces de interferencia iniciales tendrían que tener fases altamente sincronizadas prácticamente en cada lugar de la placa fotográfica (o estrictamente). Pero eso solo es posible si los rayos provienen casi de la misma dirección. Pero si vienen (casi) de la misma dirección, no podrían haberse dividido un momento antes, por lo que no podría haber sido un experimento con la interferencia de dos haces independientes. Los haces podrían haber sido independientes y estar separados mucho antes de eso.

El argumento del párrafo anterior tiene una interpretación simple en el problema análogo de la mecánica cuántica. Si hay dos paquetes de onda de la función de onda para la misma partícula que están espacialmente aislados y listos para interferir, estos dos términos$\psi_1,\psi_2$en la función de onda son ortogonales entre sí porque sus soportes no se superponen. La evolución de las funciones de onda en la mecánica cuántica es "unitaria" por lo que conserva los productos internos. Así que cualquier cosa que evolucione de$\psi_1,\psi_2$también serán ortogonales entre sí, incluso si los paquetes de ondas evolucionados ya no se superponen espacialmente. Pero esta ortogonalidad es exactamente la condición para$\int|\psi_1+\psi_2|^2$no tener términos mixtos y ser simplemente igual a$\int|\psi_1|^2+|\psi_2|^2$. El caso de las ecuaciones clásicas de Maxwell tiene una interpretación diferente, es la densidad de energía y no la densidad de probabilidad, pero es matemáticamente análogo. La "ortogonalidad" correctamente definida entre los dos paquetes está garantizada por la evolución y es equivalente a la condición de que la fuerza total de la interferencia destructiva sea la misma que la fuerza total de la interferencia constructiva.

Me imagino que sería posible configurar ondas de luz para que se propaguen linealmente de modo que las ondas interfieran solo destructivamente y no de manera constructiva.

Esto es posible si las dos ondas de luz están exactamente desfasadas entre sí, de modo que los picos de una correspondan al valle de la otra. Pero si las dos ondas se produjeran de esa manera y las superpusieras en la fuente , sería lo mismo que crear una onda con amplitud cero.

Pero si los superpones en algún momento posterior, siempre habrá interferencia constructiva y destructiva. La energía no se transporta literalmente de la oscuridad a las franjas brillantes. Más bien, dado que la amplitud de las franjas brillantes es el doble de la de las ondas originales, no hay violación de la conservación de la energía. Pensar en el "transporte de energía" es solo una visualización útil para asegurarse de que la energía realmente se conserva.